Transformée de Laplace#
Il n’est pas toujours possible de calculer une transformée de Fourier car dans certains cas,
son intégrale ne converge pas vers une valeur finie.
C’est le cas par exemple d’un signal constant sur
Définition#
La transformée de Laplace d’un signal à temps continu
où
On notera dans la suite :
Dans le cadre du filtrage, la transformée de Laplace
Diagramme pôles–zéros#
La transformée de Laplace est une fonction complexe (à cause de la présence de l’exponentielle complexe)
d’une variable complexe (
Exemple
Juste pour la curiosité, la transformée de Laplace de
Fig. 14 Représentation 3D du module et de l’argument de la tranformée de Laplace de
À la place, on utilise une représentation schématique de la transformée de Laplace : le diagramme pôles–zéros (pole–zero plot). Celui-ci est une représentation des singularités de la transformée de Laplace :
les lieux où elle tend vers zéro sont représentés par des
et sont appelés à juste titre « zéros »,les lieux où elle tend vers
sont représentés par des et sont appelés « pôles ».
La Fig. 15 représente le diagramme pôles–zéros de
Fig. 15 Diagramme pôles–zéros du système de réponse impulsionnelle
Dans certaines conditions (liées à la région de convergence que l’on verra plus loin),
la transformée de Fourier est égale à la transformée de Laplace pour
Transformée inverse#
La transformée de Laplace inverse de
Le calcul de cette intégrale s’effectue en intégrant le long d’un contour dans le plan complexe en
Or, la plupart des transformées de Laplace s’écrivent sous forme d’une fraction rationnelle (fraction entre deux polynômes):
où les constantes
L’inverse d’une transformée de Laplace qui s’exprime sous cette forme peut être calculée à l’aide d’une décomposition en éléments simples (partial fraction expansion ; voir le cours de mathématiques ou d’automatique). On utilise ensuite des tables pour obtenir l’expression de la transformée inverse.
En outre, l’expression précédente peut aussi s’écrire sous la forme :
où les constantes
L”ordre de la fonction de transfert est la constante
Propriétés#
Les propriétés de la transformée de Laplace sont similaires à celles de la transformée de Fourier.
On note
Linéarité#
Translation#
Convolution#
Dérivée temporelle#
Dilatation#
Région de convergence et stabilité#
La région de convergence (ROC, pour region of convergence) définit la partie du plan en
Prenons l’exemple de la réponse impulsionnelle
Fig. 16 Réponse impulsionnelle
La fonction de transfert de ce système est :
Avant de déterminer la valeur de la limite de
Lorsque
En ce qui concerne l’exponentielle réelle
si
alors est une exponentielle décroissante et tend vers 0,si
alors est une constante égale à 1,si
alors est une exponentielle croissante et tend vers l’infini.
En combinant les limites des deux exponentielles, il advient que
On a donc obtenu l’expression de la fonction de transfert du système étudié,
qui n’est vraie que dans le cas où
Cette condition (
Fig. 17 Diagramme pôles–zéros et région de convergence (en bleu)
du système de réponse impulsionnelle
On remarque par ailleurs que
De manière générale, on montre qu’un système analogique est stable si et seulement si tous ses pôles sont à partie réelle négative, impliquant qu’ils sont tous situés à gauche de l’axe vertical du diagramme pôles–zéros.