Exercices sur feuille#

Rappels de probabilité#

Exercice 1#

  • Représenter la densité de probabilité U[0 ;1].

  • Calculez l’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire distribuée suivant une loi uniforme  U[0 ;1].

Exercice 2#

Calculez une estimation de l’espérance et de l’écart-type de la série de N=4 échantillons ci-dessous :

x=[18131215].

Le bruit dans les signaux#

Exercice 3#

Un signal à temps discret x est bruité par un bruit blanc gaussien additif.

  • Quel est le lien entre la puissance du bruit et son écart-type ?

  • Exprimez l’écart-type du bruit en fonction du RSB et des échantillons du signal x.

Traitement des signaux bruités#

Exercice 4#

On rappelle que le filtre adapté correspond à l’intercorrélation Ryx entre un signal observé y et le motif recherché x.

  • Donnez la définition de l’intercorrélation Ryx.

  • En effectuant un changement de variable dans cette dernière expression, montrez que l’intercorrélation Ryx s’écrit comme la convolution de y avec un signal h à déterminer.

Cette dernière question montre que le filtre adapté s’exprime également comme une convolution : c’est donc bien un filtre dont la réponse impulsionnelle est h.

Exercice 5#

Montrez que le filtre moyenneur peut s’écrire comme une convolution entre le signal observé y et une porte h.

Exercice 6#

On dispose de I mesures yi d’un même signal x :

i{1,,I},n,yi[n]=x[n]+bi[n]

où les bruits bi sont supposés blancs gaussiens additifs.

  • Écrivez la moyenne des mesures yi comme la somme d’un signal (que l’on notera x~) et d’un bruit (que l’on notera b~). Que valent x~ et b~ ?

  • Déterminez l’espérance de b~ en fonction de l’espérance de bi.

  • Déterminez la variance de b~ en fonction de la variance de bi.

  • Montrez finalement que le RSB du signal moyenné est égal au RSB d’un signal yi plus un facteur 10log(I).

Exercice 7#

  • Déterminez le polynôme de degré 0 (une constante, donc…) qui approxime au mieux les données d’abscisses n=[0, 1]T et d’ordonnées y=[2, 3]T. Calculez l’erreur J.

  • Déterminez le polynôme de degré 1 (une droite affine) qui approxime au mieux les données d’abscisses n=[0, 1, 2]T et d’ordonnées y=[2, 4, 4]T. Calculez l’erreur J.

On rappelle que l’inverse d’une matrice 2×2 (abcd) est égale à 1adbc(dbca).