Exercices sur feuille#
Rappels de probabilité#
Exercice 1#
Calculez l’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire distribuée suivant une loi uniforme \(\ \mathcal{U}[0\ ; 1]\).
Exercice 2#
Calculez une estimation de l’espérance et de l’écart-type de la série de \(N=4\) échantillons ci-dessous :
Le bruit dans les signaux#
Exercice 3#
Un signal à temps discret \(x\) est bruité par un bruit blanc gaussien additif.
Quel est le lien entre la puissance du bruit et son écart-type ?
Exprimez l’écart-type du bruit en fonction du RSB et des échantillons du signal \(x\).
Traitement des signaux bruités#
Exercice 4#
On rappelle que le filtre adapté correspond à l’intercorrélation \(R_{yx}\) entre un signal observé \(y\) et le motif recherché \(x\).
Donnez la définition de l’intercorrélation \(R_{yx}\).
En effectuant un changement de variable dans cette dernière expression, montrez que l’intercorrélation \(R_{yx}\) s’écrit comme la convolution de \(y\) avec un signal \(h\) à déterminer.
Cette dernière question montre que le filtre adapté s’exprime également comme une convolution : c’est donc bien un filtre dont la réponse impulsionnelle est \(h\).
Exercice 5#
Montrez que le filtre moyenneur peut s’écrire comme une convolution entre le signal observé \(y\) et une porte \(h\).
Exercice 6#
On dispose de \(I\) mesures \(y_i\) d’un même signal \(x\) :
où les bruits \(b_i\) sont supposés blancs gaussiens additifs.
Écrivez la moyenne des mesures \(y_i\) comme la somme d’un signal (que l’on notera \(\tilde{x}\)) et d’un bruit (que l’on notera \(\tilde{b}\)). Que valent \(\tilde{x}\) et \(\tilde{b}\) ?
Déterminez l’espérance de \(\tilde{b}\) en fonction de l’espérance de \(b_i\).
Déterminez la variance de \(\tilde{b}\) en fonction de la variance de \(b_i\).
Montrez finalement que le RSB du signal moyenné est égal au RSB d’un signal \(y_i\) plus un facteur \(10\log(I)\).
Exercice 7#
Déterminez le polynôme de degré 0 (une constante, donc…) qui approxime au mieux les données d’abscisses \(n=[0,\ 1]^T\) et d’ordonnées \(y=[2,\ 3]^T\). Calculez l’erreur \(\mathcal{J}\).
Déterminez le polynôme de degré 1 (une droite affine) qui approxime au mieux les données d’abscisses \(n=[0,\ 1,\ 2]^T\) et d’ordonnées \(y=[2,\ 4,\ 4]^T\). Calculez l’erreur \(\mathcal{J}\).
On rappelle que l’inverse d’une matrice \(2\times2\) \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) est égale à \(\displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).