Exercices sur feuille#
Rappels de probabilité#
Exercice 1#
Représenter la densité de probabilité
.Calculez l’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire distribuée suivant une loi uniforme
.
Exercice 2#
Calculez une estimation de l’espérance et de l’écart-type de la série de
Le bruit dans les signaux#
Exercice 3#
Un signal à temps discret
Quel est le lien entre la puissance du bruit et son écart-type ?
Exprimez l’écart-type du bruit en fonction du RSB et des échantillons du signal
.
Traitement des signaux bruités#
Exercice 4#
On rappelle que le filtre adapté correspond à l’intercorrélation
Donnez la définition de l’intercorrélation
.En effectuant un changement de variable dans cette dernière expression, montrez que l’intercorrélation
s’écrit comme la convolution de avec un signal à déterminer.
Cette dernière question montre que le filtre adapté s’exprime également comme une convolution :
c’est donc bien un filtre dont la réponse impulsionnelle est
Exercice 5#
Montrez que le filtre moyenneur peut s’écrire comme une convolution entre le signal observé
Exercice 6#
On dispose de
où les bruits
Écrivez la moyenne des mesures
comme la somme d’un signal (que l’on notera ) et d’un bruit (que l’on notera ). Que valent et ?Déterminez l’espérance de
en fonction de l’espérance de .Déterminez la variance de
en fonction de la variance de .Montrez finalement que le RSB du signal moyenné est égal au RSB d’un signal
plus un facteur .
Exercice 7#
Déterminez le polynôme de degré 0 (une constante, donc…) qui approxime au mieux les données d’abscisses
et d’ordonnées . Calculez l’erreur .Déterminez le polynôme de degré 1 (une droite affine) qui approxime au mieux les données d’abscisses
et d’ordonnées . Calculez l’erreur .
On rappelle que l’inverse d’une matrice