Modulation analogique

Modulation

La transmission d’un signal \(m(t)\) avec une modulation en amplitude consiste à transmettre le signal \(x(t)\) qui est le produit du message \(m(t)\) par une porteuse sinusoïdale :

\[ x(t) = m(t) \sin(2\pi f_p t) \]

On peut considérer le signal \(m(t)\) comme un signal à bande limité, c’est-à-dire que son spectre est nul au delà d’une certaine fréquence. D’un point de vue fréquentiel, la modulation correspond à un décalage du spectre du message :

\[\begin{split} X(f) &= M(f) * \mathcal{F}[\sin(2\pi f_p t)](f) \\ &= M(f) * \frac{1}{2j}\left[\delta(f-f_p)-\delta(f+f_p)\right] \\ &= \frac{1}{2j}\left[M(f-f_p)-M(f+f_p)\right] \end{split}\]

Attention, ce problème n’est pas du repliement spectral car il n’y a pas de fréquence d’échantillonnage ici.

Il n’y a pas de chevauchement tant que \(f_p>f_\text{max}\). Au contraire, si \(f_p<f_\text{max}\) alors on ne pourrait pas démoduler le message.

Démodulation

Il existe plusieurs techniques de démodulation. la plus efficace, bien que délicate à mettre en pratique, est la démodulation cohérente. Cela consiste dans un premier temps à multiplier le signal reçu \(y(t)\) par la porteuse :

\[ w(t) = y(t) \sin(2\pi f_p t) \]

soit en fréquentiel :

\[\begin{split} W(f) &= Y(f) * \frac{1}{2j}\left[\delta(f-f_p)-\delta(f+f_p)\right] \\ &= \frac{1}{2j}\left[Y(f-f_p)-Y(f+f_p)\right] \\ &= \frac{1}{2j}\left[ \frac{1}{2j}\big(M(f-2f_p)-M(f+f_p-f_p)\big) - \frac{1}{2j}\big(M(f-f_p+f_p)- M(f+2f_p)\big) \right] \\ &= -\frac{1}{4} M(f-2f_p) + \frac{1}{2} M(f) - \frac{1}{4} (f+2f_p) \end{split}\]

Un filtre passe-bas permet dans un deuxième temps de filtrer les hautes fréquences pour retrouver le spectre original, et donc le signal \(m(t)\).

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