Corrections#

Signaux élémentaires#

Exercice 1#

  • Exemples de signal échantillonné : la température de l’air au lever du soleil (le soleil se levant avec une fréquence de 1 jour\(^{-1} = 0,278\) mHz, la mesure de la température au lever du soleil est forcément à temps discret, tout en étant une mesure continue de la température).

  • Exemple de signal à temps continu : tout signal analogique.

  • Exemple de signal quantifié : le nombre de personnes dans une pièce en fonction du temps (qui a une valeur forcément entière et qui dépend du temps, variable continue).

  • Exemples de signal analogique : le son émis par une personne qui parle, la température effective sur un objet ou tout autre signal naturel.

  • Exemples de signal numérique : le signal sonore contenu dans une musique en streaming, l’enregistrement numérique d’un capteur ou tout autre signal numérique.

Exercice 2#

Un signal causal st un signal \(x(t)\) nul pour \(t<0\). La propriété est équivalente pour les signaux numériques.

Exercice 3#

Échelon (ou fonction de Heaviside) :

\[\begin{split} u(t) = \begin{cases} 0 &\text{si}\quad t < 0 \\ 1 &\text{si}\quad t \geq 0 \end{cases} \end{split}\]
../_images/echelon.svg

Impulsion de Dirac :

\[ \delta(t) = 0 \;\text{si}\; t \neq 0 \qquad\text{et}\qquad \int \delta(t) dt = 1 \]
../_images/dirac.svg

Impulsion discrète :

\[\begin{split} \delta[n] = \begin{cases} 0 \;\text{si}\; n \neq 0 \\ 1 \;\text{si}\; n = 0 \end{cases} \end{split}\]
../_images/kronecker.svg

Peigne de Dirac (\(T > 0\)) :

\[ Ш_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t-kT) \]
../_images/peigne.svg

Exercice 4#

../_images/signal-x.svg
../_images/signal-y.svg

Exercice 5#

A est un sinus cardinal.

Produit de convolution#

Exercice 6#

D’après la définition du produit de convolution, et comme le signal \(x\) est nul presque partout (sauf aux échantillons \(n=1\) et \(n=-1\)), alors :

\[\begin{split} (x*y)[n] &= \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] y[n-m] \\ &= x[-1] y[n+1] + x[1] y[n-1] \end{split}\]

Les valeurs de \(x[-1]\) et \(x[1]\) sont données par la définition de \(x\), donc :

(1)#\[ (x*y)[n] = -y[n+1] + y[n-1]. \]

D’après la définition de \(y\), on a d’une part :

\[\begin{split} y[n+1] = \begin{cases} a &\text{pour } |n+1| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} = \begin{cases} a &\text{pour } -2 \leq n \leq 0, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} \end{split}\]

et d’autre part :

\[\begin{split} y[n-1] = \begin{cases} a &\text{pour } |n-1| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} = \begin{cases} a &\text{pour } 0 \leq n \leq 2, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases}. \end{split}\]

D’après l’équation (1), on peut finalement définir la valeur de tous les échantillons de \((x*y)\). Il n’y a qu’en \(n=0\) que les deux signaux \(y[n+1]\) et \(y[n-1]\) sont non nuls (ils valent \(a\)). Ainsi :

\[\begin{split} (x*y) = \begin{cases} -a &\text{pour } n = -2 \\ -a &\text{pour } n = -1 \\ 0 &\text{pour } n = 0 \\ a &\text{pour } n = 1 \\ a &\text{pour } n = 2 \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} \end{split}\]

Exercice 7#

  • A :

../_images/conv-1-result.svg

  • B :

../_images/conv-2-result.svg

  • C :

../_images/conv-3-result.svg

Exercice 8#

  • \((x*d_0)(t) = x(t) * \delta(t-\tau) = x(t-\tau)\).

  • \((d_1*d_2)(t) = \delta(t+t_1) * \delta(t+t_2) = \delta(t+t_1+t_2)\).

Analyse de Fourier#

Exercice 9#

\[\begin{split} X(f) &= \int_{-\infty}^{+\infty} A\,\mathrm{rect}(2t/T) e^{-j2\pi f t} \,dt \\ &= A \int_{-\frac{T}{4}}^{+\frac{T}{4}} e^{-j2\pi f t} \,dt \\ &= A \left[ \frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f} \right]_{-\frac{T}{4}}^{+\frac{T}{4}} \\ &= A \left( \frac{e^{-j2\pi f \frac{T}{4}}}{-j2\pi f} - \frac{e^{+j2\pi f \frac{T}{4}}}{-j2\pi f} \right) \\ &= A \frac{1}{j2\pi f} \left( e^{+j2\pi f \frac{T}{4}} - e^{-j2\pi f \frac{T}{4}} \right) \\ &= A \frac{1}{j2\pi f} 2j \sin(2\pi f \frac{T}{4}) \\ &= A \frac{1}{\pi f} \sin(\pi f \frac{T}{2}) \\ &= A \frac{\frac{T}{2}}{\pi f\frac{T}{2}} \sin(\pi f \frac{T}{2}) \\ &= \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(f \frac{T}{2}) \\ \end{split}\]

Exercice 10#

Un signal constant est équivalent à une unique exponentielle complexe de fréquence nulle. Son spectre est donc une unique impulsion de Dirac à la fréquence nulle.

Par dualité, le spectre d’une impulsion de Dirac centrée en 0 et un spectre constant.

Cela implique qu’une impulsion de Dirac contient toutes les fréquences en amplitudes égales, donc en puissances égales.

Exercice 11#

La transformée de Fourier discrète est périodique, à support discret et valeurs complexes. Elle peut être réelle dans le cas particulier ou le signal temporel est pair.

Exercice 12#

Puisque \(\cos(t) = (e^{jt}+e^{-jt})/2\) (forume d’Euler), alors son spectre (qui rappelons-le est la décomposition en exponentielles complexes du signal) est :

../_images/spectre-cos.svg

Exercice 13#

Le théorème de l’échantillonnage dit que, pour qu’un signal à temps continu \(x(t)\) soit déterminé de manière unique par les échantillons \(x[n] = x(nT_e)\), il faut que \(f_e > 2 f_\mathrm{max}\) où \(f_\mathrm{max}\) est la fréquence maximaule de \(x\).