Corrections

Signaux élémentaires

Exercice 1

• Exemples de signal échantillonné : la température de l’air au lever du soleil (le soleil se levant avec une fréquence de 1 jour\(^{-1} = 0,278\) mHz, la mesure de la température au lever du soleil est forcément à temps discret, tout en étant une mesure continue de la température).

• Exemple de signal à temps continu : tout signal analogique.

• Exemple de signal quantifié : le nombre de personnes dans une pièce en fonction du temps (qui a une valeur forcément entière et qui dépend du temps, variable continue).

• Exemples de signal analogique : le son émis par une personne qui parle, la température effective sur un objet ou tout autre signal naturel.

• Exemples de signal numérique : le signal sonore contenu dans une musique en streaming, l’enregistrement numérique d’un capteur ou tout autre signal numérique.

Exercice 2

Un signal causal st un signal \(x(t)\) nul pour \(t<0\). La propriété est équivalente pour les signaux numériques.

Exercice 3

Échelon (ou fonction de Heaviside) :

\[\begin{split} u(t) = \begin{cases} 0 &\text{si}\quad t < 0 \\ 1 &\text{si}\quad t \geq 0 \end{cases} \end{split}\]

Impulsion de Dirac :

\[ \delta(t) = 0 \;\text{si}\; t \neq 0 \qquad\text{et}\qquad \int \delta(t) dt = 1 \]

Impulsion discrète :

\[\begin{split} \delta[n] = \begin{cases} 0 \;\text{si}\; n \neq 0 \\ 1 \;\text{si}\; n = 0 \end{cases} \end{split}\]

Peigne de Dirac (\(T > 0\)) :

\[ Ш_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t-kT) \]

Exercice 4

Exercice 5

A est un sinus cardinal.

Produit de convolution

Exercice 6

D’après la définition du produit de convolution, et comme le signal \(x\) est nul presque partout (sauf aux échantillons \(n=1\) et \(n=-1\)), alors :

\[\begin{split} (x*y)[n] &= \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] y[n-m] \\ &= x[-1] y[n+1] + x[1] y[n-1] \end{split}\]

Les valeurs de \(x[-1]\) et \(x[1]\) sont données par la définition de \(x\), donc :

(1)\[ (x*y)[n] = -y[n+1] + y[n-1]. \]

D’après la définition de \(y\), on a d’une part :

\[\begin{split} y[n+1] = \begin{cases} a &\text{pour } |n+1| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} = \begin{cases} a &\text{pour } -2 \leq n \leq 0, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} \end{split}\]

et d’autre part :

\[\begin{split} y[n-1] = \begin{cases} a &\text{pour } |n-1| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} = \begin{cases} a &\text{pour } 0 \leq n \leq 2, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases}. \end{split}\]

D’après l’équation (1), on peut finalement définir la valeur de tous les échantillons de \((x*y)\). Il n’y a qu’en \(n=0\) que les deux signaux \(y[n+1]\) et \(y[n-1]\) sont tous les deux non nuls (ils valent \(a\)). Ainsi :

\[\begin{split} (x*y) = \begin{cases} -a &\text{pour } n = -2 \\ -a &\text{pour } n = -1 \\ 0 &\text{pour } n = 0 \\ a &\text{pour } n = 1 \\ a &\text{pour } n = 2 \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} \end{split}\]

Exercice 7

• A :

• B :

• C :

Exercice 8

• \((x*d_0)(t) = x(t) * \delta(t-\tau) = x(t-\tau)\).

• \((d_1*d_2)(t) = \delta(t+t_1) * \delta(t+t_2) = \delta(t+t_1+t_2)\).

Analyse de Fourier

Exercice 9

Le signal \(x(t)\) est continu car il dépend de la variable \(t\) (généralement continue), et il est apériodique (c’est une porte). La transformation de Fourier associée est donc la transformée de Fourier.

\[\begin{split} X(f) &= \int_{-\infty}^{+\infty} A\,\mathrm{rect}(2t/T) e^{-j2\pi f t} \,dt \\ &= A \int_{-\frac{T}{4}}^{+\frac{T}{4}} e^{-j2\pi f t} \,dt \\ &= A \left[ \frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f} \right]_{-\frac{T}{4}}^{+\frac{T}{4}} \\ &= A \left( \frac{e^{-j2\pi f \frac{T}{4}}}{-j2\pi f} - \frac{e^{+j2\pi f \frac{T}{4}}}{-j2\pi f} \right) \\ &= A \frac{1}{j2\pi f} \left( e^{+j2\pi f \frac{T}{4}} - e^{-j2\pi f \frac{T}{4}} \right) \\ &= A \frac{1}{j2\pi f} 2j \sin(2\pi f \frac{T}{4}) \\ &= A \frac{1}{\pi f} \sin(\pi f \frac{T}{2}) \\ &= A \frac{\frac{T}{2}}{\pi f\frac{T}{2}} \sin(\pi f \frac{T}{2}) \\ &= \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(f \frac{T}{2}) \\ \end{split}\]

Exercice 10

• Le théorème de l’échantillonnage peut s’énoncer ainsi : si un signal analogique \(x(t)\) de fréquence maximale \(f_\mathrm{max}\) est échantillonné à une fréquence \(f_e > 2f_\mathrm{max}\), alors \(x(t)\) peut être exactement reconstruit à partir de ses échantillons (à l’aide d’une interpolation par sinus cardinal). Dit autrement, un signal à temps continu \(x(t)\) est déterminé de manière unique par les échantillons \(x[n] = x(nT_e)\) à condition que \(f_e > 2 f_\mathrm{max}\).

• Ainsi, la fréquence d’échantillonnage pour un signal dans la bande \([0, 100]\) Hz doit être supérieure à \(2 \times 100 = 200\) Hz.

• De même, la fréquence d’échantillonnage pour un signal dans la bande \([30, 150]\) Hz doit être supérieure à \(2 \times 150 = 300\) Hz.

• Dans le cas d’une sinusoïde de fréquence \(320\) Hz échantillonnée à \(600\) Hz, la condition \(f_e > 2f_\mathrm{max}\) n’est pas respectée. Une représentation graphique permet d’identifier le signal obtenu après échantillonnage. On sait que l’échantillonnage d’un signal à la fréquence \(f_e\) produit une périodisation de son spectre à la période \(f_e\). Graphiquement, on obtient donc :

  

Exercice 11

Un signal constant est équivalent à une unique exponentielle complexe de fréquence nulle. Son spectre est donc une unique impulsion de Dirac à la fréquence nulle.

Par dualité, le spectre d’une impulsion de Dirac centrée en 0 et un spectre constant.

Cela implique qu’une impulsion de Dirac contient toutes les fréquences en amplitudes égales, donc en puissances égales.

Exercice 12

La transformée de Fourier discrète est périodique, à support discret et valeurs complexes. Elle peut être réelle dans le cas particulier ou le signal temporel est pair.

Exercice 13

Grâce à la formule d’Euler, on sait que \(\cos(t) = (e^{jt}+e^{-jt})/2\). Comme le spectre est la représentation graphique de la décomposition en exponentielles complexes du signal, alors le spectre de \(\cos(t)\) n’est non nul qu’aux fréquences \(1\) et \(-1\) :