Transformée en Z

La transformée en Z est l’équivalent discret de la transformée de Laplace. Contrairement à Fourier et Laplace, Z n’est pas un scientifique mais seulement le nom que l’on a donné à la variable de cette transformée.

Définition

La transformée en Z d’un signal à temps discret \(x[n]\) est :

\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n} \]

où \(z = \rho e^{j\theta} \in \mathbb{C}\) est la variable. C’est une variable continue, même si elle s’applique sur un signal échantillonné. Cette formule ressemble à la transformée de Fourier discrète, mais l’exponentielle est ici remplacée par la variable \(z\).

On notera dans la suite : \(X(z) = \mathcal{Z}[x[n]]\).

Pour un filtre numérique de réponse impulsionnelle \(h[n]\), la transformée en Z de \(h\) est la fonction de transfert du filtre et exprime le quotient des transformées en Z de la sortie \(y\) sur l’entrée \(x\) :

\[ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)}. \]

Représentation

De même que pour la transformée de Laplace, la transformée en Z est une fonction complexe d’une variable complexe et il serait difficile et inutile de la représenter.

On utilise alors le diagramme pôles–zéros qui se construit de la même manière que pour la transformée de Laplace.

Lorque \(\rho=1\), alors \(z=e^{j\theta}\). En réécrivant \(\theta = 2\pi f\), on retrouve l’expression de la transformée de Fourier discrète. En d’autres termes, la transformée de Fourier discrète est égale à la transformée en Z lorsque \(z\) est de module 1. Cela correspond à un cercle de rayon 1 centré sur l’origine.

Transformée inverse

La transformée en Z inverse de \(X(z)\) est :

\[ x[n] = \frac{1}{2\pi j} \int X(z) z^{n-1} dz. \]

Le calcul de cette intégrale n’est pas simple. Dans la pratique, le calcul de \(x[n]\) à partir de \(X(z)\) est obtenu en pratique en utilisant des tables, car les transformées en Z s’expriment sous forme d’une fraction rationnelle :

\[ H(z) = \frac{ \sum_{m=0}^{M} b_m z^{-m} }{ \sum_{n=0}^{N} a_n z^{-n} } \]

La fonction de transfert est donc définie par ses coefficients \(b_m\) et \(a_n\), miq on peut également la définir avec ses zéros \(z_m\), pôles \(p_n\) et gain \(k\) :

\[ H(z) = k \frac{ \prod_{m=0}^{M} (z-z_m) }{ \prod_{n=0}^{N} (z-p_n) } \]

Propriétés

Les propriétés de la transformée en Z sont similaires à celles des transformées de Fourier et de Laplace. On note \(a\) et \(b\) deux constantes, \(x\), \(x_1\) et \(x_2\) des signaux et \(X\), \(X_1\) et \(X_2\) leurs transformées en Z respectives.

Linéarité

\[ ax_1[n] + bx_2[n] \;\xrightarrow{\,\mathcal{Z}\,}\; a X_1(z) + b X_2(z) \]

Translation

\[ x[n-N] \;\xrightarrow{\,\mathcal{Z}\,}\; z^{-N} X(z) \]

Convolution

\[ (x_1*x_2)[n] \;\xrightarrow{\,\mathcal{Z}\,}\; X_1(z) \times X_2(z) \]

Région de convergence et stabilité

Comme pour la transformée de Laplace, on peut définir une région de convergence avec la transformée en Z qui indique les régions où la transformée en Z converge.

Prenons l’exemple de la réponse impulsionnelle \(h[n] = a^n u[n]\). Sa transformée en Z est :

\[\begin{split} H(z) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} h[n] z^{-n} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} a^n z^{-n} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} (az^{-1})^n \end{split}\]

\(H(z)\) est la somme des termes d’une suite géométrique de raison \(az^{-1}\). Cette suite est convergente si et seulement si \(|az^{-1}|<1\). Si cette condition est respectée, alors (rappelez-vous de la formule de la série géométrique) :

\[ H(z) = \frac{1-\lim_{n \to +\infty} (az^{-1})^n}{1-az^{-1}} \]

Si la condition \(|az^{-1}|<1\) est respectée, alors la limite \(\lim_{n \to +\infty} (az^{-1})^n\) tend vers 0 et finalement :

\[ H(z) = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}. \]

Cette fonction de transfert au seul zéro (\(z=0\)) et un seul pôle (\(z=a\)).

La condition précédente est équivalente à \(|z| > |a|\) et elle définit la région de convergence du système. On peut donc représenter le diagramme pôles–zéros (Fig. 18).

Fig. 18 Diagramme pôles–zéros et région de convergence (en bleu) du système de réponse impulsionnelle \(h[n] = a^n u[n]\) (ici, \(a=0.7\)).

Dans l’exemple de la Fig. 18 où \(a=0,7\), le lieu de la transformée de Fourier discrète étant intégralement dans la région de convergence, on en déduit que le système est stable.

De manière générale, on montre qu’un système numérique est stable si et seulement si tous ses pôles sont dans le cercle unité (cercle de rayon 1 centré sur l’origine), impliquant qu’ils sont de module inférieur à 1.

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