Exercices sur feuille#

Cette première séance a pour but de reprendre les notions étudiées en première année et de se remettre dans le bain…

Signaux élémentaires#

Exercice 1#

Donnez des exemples concrets de signaux échantillonnés, de signaux à temps continu, de signaux quantifiés, de signaux analogiques et de signaux numériques.

Exercice 2#

Qu’est-ce qu’un signal causal ?

Exercice 3#

Donnez la définition mathématique des signaux suivants puis représentez-les :

  • un échelon,

  • une impulsion de Dirac,

  • une impulsion discrète,

  • une fonction de Heaviside,

  • un peigne de Dirac.

Exercice 4#

Représentez les signaux

\[ x(t) = 4\,\sin(3\pi t+\pi), \qquad y(t) = 2\,\delta(t-1) - \delta(t+1). \]

Exercice 5#

Donnez la définition du sinus cardinal. Parmi les signaux suivants, lequel pourrait correspondre à \(\mathrm{sinc}(t)\) ?

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Produit de convolution#

Exercice 6#

Calculez le produit de convolution \((x*y)[n]\) où (\(a\in\mathbb{R}\)) :

\[\begin{split} x[n] = \begin{cases} +1 &\text{pour } n=1, \\ -1 &\text{pour } n=-1, \\ 0 &\text{ailleurs}, \end{cases} \qquad\qquad y[n] = \begin{cases} a &\text{pour } |n| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs}. \end{cases} \end{split}\]

Exercice 7#

Représentez schématiquement les produits de convolution des signaux ci-dessous.

  • A :

../_images/conv-1.svg

  • B :

../_images/conv-2.svg

  • C :

../_images/conv-3.svg

Exercice 8#

Simplifiez les expressions suivantes :

  • \((x*d_0)(t)\;\) où : \(\quad d_0(t) = \delta(t-\tau)\;\) et \(\;x(t)\) est un signal quelconque.

  • \((d_1*d_2)(t)\;\) où : \(\quad d_1(t) = \delta(t+t_1)\;\) et \(\;d_2(t) = \delta(t+t_2)\).

Analyse de Fourier#

Exercice 9#

Le signal défini ci-dessous est-il continu ou discret ? périodique ou apériodique ? Calculez sa transformée de Fourier.

\[\begin{split} x(t) = A\,\mathrm{rect}(2t/T) = \begin{cases} A &\text{si } -\frac{T}{4} \leq t \leq \frac{T}{4}, \\ 0 &\text{sinon}. \end{cases} \end{split}\]

Exercice 10#

  • Rappelez le théorème de l’échantillonnage (ou théorème de Nyquist-Shannon).

  • Le contenu fréquentiel d’un signal analogique \(x\) est situé dans la bande \([0, 100]\) Hz. Quelle fréquence d’échantillonnage convient pour éviter le repliement spectral ?

  • Le contenu fréquentiel d’un signal analogique \(y\) est situé dans la bande \([30, 150]\) Hz. Quelle fréquence d’échantillonnage convient pour éviter le repliement spectral ?

  • Une sinusoïde de fréquence 320 Hz est échantillonnée à 600 Hz. Quel signal obtient-on après échantillonnage ?

Exercice 11#

Quel est, intuitivement, le spectre d’un signal temporel constant ? En déduire le spectre d’une impulsion de Dirac centrée en 0. Qu’en concluez-vous sur la composition fréquentielle d’une impulsion de Dirac ?

Exercice 12#

La transformée de Fourier discrète est-elle périodique ? à support continu ? à valeurs réelles ?

Exercice 13#

Représentez le spectre de \(\cos(t)\) sans calculer sa série de Fourier.