Corrections#
Rappels de probabilité#
Exercice 1#
Exercice 2#
Le bruit dans les signaux#
Exercice 3#
Par définition de l’estimateur de la variance, l’écart-type \(\sigma_b\) du bruit est égal à la puissance du bruit :
\[ \sigma_b^2 = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N b_n^2 = P_b. \]Expression de l’écart-type du bruit en fonction du RSB et des échantillons du signal \(x\) :
\[ \sigma_b = 10^{-\text{RSB}/20} \sqrt{ \frac{\sum_n x_n^2}{N} }. \]
Traitement des signaux bruités#
Exercice 4#
Intercorrélation \(R_{yx}\) :
\[ R_{yx}[n] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y[n+m] x[m] \]Le produit de convolution \((y*h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} y[k] h[n-k]\) est égal à l’intercorrélation \(R_{yx}[n] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y[k] x[k-n]\) lorsque \(h[n-k]=x[k-n]\), ce qui signifie que la réponse impulsionnelle \(h[n]\) du filtre est égale à \(x[-n]\). Le filtre adapté est donc bien un filtre dont la réponse impulsionnelle est le signal \(x\) retourné dans le temps.
Exercice 5#
La sortie du filtre moyenneur est :
où
soit
Le filtre moyenneur s’écrit donc bien comme la convolution entre le signal observé \(y\) et une porte \(h\).
Exercice 6#
La moyenne des mesures \(y_i\) est :
\[ \forall n,\qquad \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I y_i[n] = \underbrace{ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I x[n] }_{\tilde{x}[n]} + \underbrace{ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I b_i[n] }_{\tilde{b}[n]} \]où \(\tilde{x}[n] = x[n]\).
On montre déjà que l’espérance de \(\tilde{b}\) est nulle (rappelons que les \(b_i\) sont blanc et gaussien, donc d’espérance nulle) :
\[ \mathbb{E}\left[\tilde{b}\right] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{I} \sum_{i=1}^I b_i[n]\right] = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I \mathbb{E}\left[b_i[n]\right] = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I 0 = 0 \]On peut donc calculer la variance de \(\tilde{b}\) :
\[\begin{split} \mathbb{V}\left[\tilde{b}\right] &= \mathbb{E}\left[\tilde{b}^2\right] - \mathbb{E}\left[\tilde{b}\right]^2 \\ &= \mathbb{E}\left[\tilde{b}^2\right] - 0 \\ &= \mathbb{E}\left[\frac{1}{I^2} \left( \sum_{i=1}^I b_i[n] \right)^2 \right] \\ &= \frac{1}{I^2} \sum_{i=1}^I \mathbb{E}\left[b_i[n]^2\right] + \frac{1}{I^2} \sum_{i=1}^I \sum_{j \neq i} \mathbb{E}\left[b_i[n]b_j[n]\right] \end{split}\]or, puisque les échantillons \(b_i\) du bruit sont indépendants, alors \(\mathbb{E}\left[b_i[n]b_j[n]\right]=0\) quels que soient \(i\) et \(j\). Il reste donc :
\[ \mathbb{V}\left[\tilde{b}\right] = \frac{1}{I^2} \sum_{i=1}^I \mathbb{E}\left[b_i[n]^2\right] = \frac{1}{I} \mathbb{V}\left[b_i\right] \]Ce derner résultat implique que le RSB du signal moyenné \(\tilde{\text{RSB}}\) est égal au RSB d’un signal \(y_i\) plus un facteur \(10\log(I)\) :
\[ \tilde{\text{RSB}} = 10 \log_{10} \left(\frac{P_\tilde{x}}{P_\tilde{b}}\right) = 10 \log_{10} \left(\frac{P_\tilde{x}}{\frac{1}{I}P_{b_i}}\right) = 10 \log_{10}(I) + 10 \log_{10} \left(\frac{P_\tilde{x}}{P_{b_i}}\right) = 10 \log_{10}(I) + \text{RSB} \]
Exercice 7#
\(\boldsymbol{\theta}=2,5\) est la valeur de la constante qui approxime au mieux les données. On peut calculer \(\mathcal{J}=0,5\).
\(\boldsymbol{\theta}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3} \\ 1\end{pmatrix}\) regroupe les coefficients de la droite qui approxime au mieux les données.
Celle-ci est donc d’équation \(z = \frac{7}{3} + n\). On peut calculer \(\mathcal{J}=\frac{2}{3}\).