Filtres idéaux

Filtre passe bas

Un filtre passe-bas (low-pass filter) laisse passer les fréquences faibles et arrête les fréquences hautes. De manière générale, sa réponse fréquentielle s’écrit sous la forme :

\[\begin{split} H(f) = \begin{cases} K e^{-j 2\pi f a} &\text{si}\; |f| \leq f_c, \\ 0 &\text{si}\; |f| > f_c \end{cases} \end{split}\]

où \(K\) et \(a\) sont deux paramètres du filtre et \(f_c\) est la « fréquence de coupure » (cutoff frequency). En utilisant la transformée de Fourier, on obtient le gain de ce filtre :

\[\begin{split} G(f) = |H(f)| = \begin{cases} K &\text{si}\; |f| \leq f_c, \\ 0 &\text{si}\; |f| > f_c. \end{cases} \end{split}\]

Le gain du filtre passe-bas idéal est représenté Fig. 6 : le gain dans les hautes fréquences est nul, donc le filtre passe-bas supprimera toute fréquence supérieure à \(f_c\). Cette bande de fréquence est appelée « bande atténuée », et la bande de fréquence pour laquelle le gain n’est pas nul est la « bande passante ».

Fig. 6 Gain d’un filtre passe-bas idéal.

Intéressons-nous à la réponse impulsionnelle de ce filtre, en nous plaçant dans le domaine analogique. Par définition, la réponse impulsionnelle \(h(t)\) du filtre passe-bas idéal est la transformée de Fourier inverse de sa réponse fréquentielle \(H(f)\). Le calcul donne :

\[ h(t) = 2 K f_c \, \mathrm{sinc}(2 f_c (t-a)) \]

Démonstration

\[\begin{split} h(t) &= \mathcal{F}^{-1}\left[H(f)\right](t) \\ &= \int_{-f_c}^{+f_c} K e^{-j 2\pi f a} e^{+j 2\pi f t} df \\ &= \int_{-f_c}^{+f_c} K e^{+j 2\pi f (t-a)} df \\ &= K \left[ \frac{e^{+j 2\pi f (t-a)}}{+j 2\pi (t-a)} \right]_{-f_c}^{+f_c} \\ &= K \frac{e^{+j 2\pi f_c (t-a)} - e^{-j 2\pi f_c (t-a)}}{+j 2\pi (t-a)} \\ &= K \frac{1}{\pi (t-a)} \sin(2\pi f_c (t-a)) \\ &= K \frac{1}{\pi (t-a)} \sin(2\pi f_c (t-a)) \frac{2f_c}{2f_c} \\ &= 2 K f_c \, \mathrm{sinc}(2 f_c (t-a)) \end{split}\]

La réponse impulsionnelle de l’équation précédente est représentée Fig. 7.

Fig. 7 Réponse impulsionnelle du filtre passe-bas idéal (ici : \(K\) = 0,9, \(f_c\) = 0,4, \(a\) = 0,7).

En fait, il existe tout de même une manière de réaliser un filtre idéal en effectuant l’opération dans le domaine de Fourier. Cela implique toutefois que le filtrage se fasse sur le signal en entier : ce n’est donc possible que sur un signal enregistré, mais pas en temps réel.

On observe que la réponse impulsionnelle est infinie, et donc non causale (elle n’est pas nulle pour \(t<0\)). Qu’est-ce que cela implique ? Et bien ce filtre n’est pas réalisable ! En effet, pour pouvoir implémenter un tel filtre (et donc effectuer convenablement la convolution), il aurait déjà fallu commencer le filtrage il y a très très longtemps, et le filtrage se poursuivra jusqu’à la fin des temps ! 😵 Bref, un filtre passe-bas idéal n’est pas réalisable pour une application en temps réel.

Filtre passe-haut

Un filtre passe-haut (high-pass filter) laisse passer les fréquences hautes et arrête les fréquences faibles. Sa réponse fréquentielle s’écrit sous la forme suivante et son gain est représenté Fig. 8. Comme pour le filtre passe-bas idéal, il n’est pas réalisable.

\[\begin{split} H(f) = \begin{cases} K e^{-j 2\pi f a} &\text{si} |f| \geq f_c, \\ 0 &\text{si} |f| < f_c. \end{cases} \end{split}\]

Fig. 8 Gain d’un filtre passe-haut idéal.

Filtre passe-bande

Un filtre passe-bande (band-pass filter) laisse passer les fréquences moyennes, entre deux fréquences de coupure \(f_{c-}\) et \(f_{c+}\). Sa réponse fréquentielle s’écrit sous la forme suivante et son gain est représenté Fig. 9. Il n’est pas réalisable.

\[\begin{split} H(f) = \begin{cases} K e^{-j 2\pi f a} &\text{si} f_{c-} \leq |f| \leq f_{c+}, \\ 0 &\text{sinon}. \end{cases} \end{split}\]

Fig. 9 Gain d’un filtre passe-bande idéal.

Filtre coupe-bande

Un filtre coupe-bande (band-stop filter, ou notch filter lorsque la bande atténuée est très étroite) ne supprime que les fréquences situées entre \(f_{c-}\) et \(f_{c+}\). Sa réponse fréquentielle s’écrit sous la forme suivante et son gain est représenté Fig. 10. Il n’est pas réalisable.

\[\begin{split} H(f) = \begin{cases} 0 &\text{si} f_{c-} \leq |f| \leq f_{c+}, \\ K e^{-j 2\pi f a} &\text{sinon}. \end{cases} \end{split}\]

Fig. 10 Gain d’un filtre coupe-bande idéal.

Filtre passe-tout

Un filtre passe-tout (all-pass filter) laisse passer toutes les fréquences sans les atténuer, mais modifie leur phase. Il est utilisé pour linéariser la phase ou introduire des retards. Sa réponse fréquentielle s’écrit sous la forme suivante et son gain est représenté Fig. 11. Comme tous les filtres idéaux précédents, il n’est pas réalisable, vous vous en doutiez…

\[ H(f) = K e^{-j 2\pi f a}. \]

Fig. 11 Gain d’un filtre passe-tout idéal.