Filtres RIF#
Réponse impulsionnelle#
Un filtre RIF a pour réponse impulsionnelle :
Sa réponse impulsionnelle est finie car elle possède
Fonction de transfert#
La transformée en Z de
Cette fonction de transfert est particulière car elle ne possède pas de pôle, autrement dit, son dénominateur est égal à 1. L’absence de pôle est une particularité des filtres RIF, et comme ils ne risquent pas d’avoir de pôles à l’extérieur du cercle unité, ils sont toujours stables ! Les filtres RIF sont parfois appelés filtres à moyenne mobile ou MA (moving average).
Schéma bloc#
Les filtres numériques sont souvent représentés sous forme d’un schéma bloc,
qui illustre graphiquement les relations entre l’entrée et la sortie du filtre.
Pour cela, il convient d’exprimer la sortie en fonction de l’entrée.
Comme on sait que la fonction de transfert
alors :
dont la transformée en z inverse est, grâce à la propriété de linéarité :
La sortie
Contrairement aux schémas-blocs des filtres RII que l’on verra plus loin, il n’y a pas de boucle de retour pour les filtres RIF : on dit qu’ils sont non récursifs. Par conséquent, la sortie ne peut pas être réinjectée indéfiniment dans le filtre, empêchant toute instabilité.
Linéarité de la phase#
La linéarité de la phase est souvent un critère souhaité. Les filtres RIF sont à phase linéaire si leur réponse impulsionnelle est symétrique (attention, symétrique ne veut pas dire paire ici !) ou antisymétrique, c’est-à-dire :
La Fig. 19 illustre ces propriétés.
Fig. 19 Exemples de réponses impulsionnelles symétriques (types I et II) et antisymétriques (types III et IV).#
Notons que les filtres de type II, III et IV ne sont pas adaptés pour synthétiser des filtres passe-haut.
Une méthode toute simple pour synthétiser un RIF#
Une idée toute simple pour obtenir un filtre RIF est de tronquer la réponse impulsionnelle d’un filtre idéal.
Prenons l’exemple d’un filtre passe-bas, tel qu’on l’a vu dans la section Filtre passe bas.
Sa réponse fréquentielle est (pour simplifier l’exposé, on prend
Remarquez qu’on a ajouté la condition
La transformée de Fourier à temps discret inverse de
En ne conservant que
Fig. 20 Troncature et décalage de la réponse impulsionnelle idéale. Vous noterez que ce filtre est de type I.#
Enfin, la transformée de Fourier à temps discret de
Fig. 21 Réponse fréquentielle du filtre tronqué et décalé.#
On observe plusieurs choses sur cette figure :
il y a des oscillations en bande passante et en bande atténuée,
la bande de transition n’est pas nulle.
Les oscillations sont d’ailleurs de plus en plus grandes lorsqu’on s’approche de la bande de transition :
c’est le phénomène de Gibbs.
Il s’avère que ces oscillations ne s’atténuent pas lorsque
L’interprétation que l’on peut faire de ces observations est la suivante.
La troncature revient à multiplier la réponse impulsionnelle
Dans le domaine de Fourier, cela revient à convoluer la réponse fréquentielle
où :
Fig. 22 Noyau de Dirichlet. Ça ressemble à un sinus cardinal, mais ce n’en est pas un.#
On observe que lorsque
Méthode des fenêtres#
La méthode des fenêtres reprend l’idée précédente (troncature de la réponse impulsionnelle d’un filtre idéal) mais la fenêtre n’est pas forcément une porte. Chaque fenêtre aura ses propres caractéristiques et un compromis devra être fait pour choisir entre une bande de transition réduite, des osccillations en bande passante faibles et une atténuation suffisante, tout en ayant un ordre réduit.
Le tableau ci-dessous donne les propriétés des réponses fréquentielles obtenues pour plusieurs fenêtres
(la fréquence réduite est la fréquence divisée par
Fenêtre |
Largeur de transition (fréquence réduite) |
Ondulation en bande passante (dB) |
Atténuation minimale (dB) |
---|---|---|---|
Rectangulaire |
|||
Hamming |
|||
Blackman |
|||
Kaiser |
|||
Kaiser |
|||
Kaiser |
Paramètres de la fenêtre de Kaiser
Pour la fenêtre de Kaiser, la largeur de transition
Quant au paramètre
Les figures ci-après permettent de comparer les différentes fenêtres en termes de réponse impulsionnelle (Fig. 23) et gain (Fig. 24).
Fig. 23 Fenêtres classiques de longueur
Fig. 24 Gain de filtres passe-bas de fréquence de coupure
Autres méthodes de synthèse#
La méthode des fenêtres peut donner des ordres de filtres surévalués.
D’autres méthodes de synthèse existent, comme par exemple la méthode de Parks-McClellan
qui ajuste les coefficients de manière itérative pour que l’écart au filtre idéal soit inférieure à une valeur limite.
La méthode est accessible avec la fonction scipy.signal.remez
(car elle est une variation de l’algorithme de Remez).