Correction#

Exercice 1#

Soit \(x\) un signal périodique de période \(T\). Vérifions que son autocorrélation est également périodique de période \(T\). On a :

\[ R_x(\tau) = \int x(t+\tau) x(t) dt \quad\Leftrightarrow\quad R_x(\tau+T) = \int x(t+\tau+T) x(t) dt \]

Or puisque \(x(t+T) = x(t)\) :

\[ R_x(\tau+T) = \int x(t+\tau) x(t) dt = R_x(\tau). \]

L’intercorrélation d’un signal périodique de période \(T\) est donc également périodique de période \(T\).

Exercice 2#

Par définition :

\[ R_x(\tau) = \int x(t+\tau) x(t) dt. \]

Or, le terme \(x(t+\tau) x(t)\) peut être remplacé par une somme de trois termes qui va nous aider à démontrer que l’autocorrélation est maximale en 0. En effet :

\[ \big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2 = x(t)^2 - 2x(t)x(t+\tau) + x(t+\tau)^2 \]

et donc :

\[ x(t)x(t+\tau) = \frac{1}{2}x(t)^2 + \frac{1}{2}x(t+\tau)^2 - \frac{1}{2}\big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2. \]

En remplaçant l’expression de \(x(t)x(t+\tau)\) dans l’expression de l’autocorrélation, puis en développant l’intégrale, on obtient :

\[ R_x(\tau) = \frac{1}{2}\int x(t)^2 dt + \frac{1}{2}\int x(t+\tau)^2 dt - \frac{1}{2}\int \big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2 dt \]

Or le deuxième terme est égal au premier : \(\int x(t+\tau)^2 dt = \int x(t)^2 dt\), (il suffit de faire un changement de variable), qui est aussi \(R_x(0)\). Cela implique :

\[\begin{split} R_x(\tau) = R_x(0) - C \\ \end{split}\]

où \(C = \frac{1}{2}\int \big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2 x(t) dt\) est nécessairement positif.

En conclusion, on a toujours \(R_x(\tau) \leq R_x(0)\), ce qui signifie que \(R_x(0)\) est bien le maximum de l’autocorrélation.

Cela se comprend aisément puisque l’autocorrélation mesure la ressemblance d’un signal avec une version décalée de lui-même. La ressemblance est forcément la plus grande lorsque le décalage est nul.

Exercice 3#

Exercice 4#

\[\begin{split} R_x(\tau) &= \int x(t+\tau) x(t) dt \\ &= \int \big[s(t+\tau) + a\,s(t+\tau-d)\big] \big[s(t) + a\,s(t-d)\big] dt \\ &= \int s(t+\tau) s(t) dt + a \int s(t+\tau) s(t-d)\big] dt + a \int s(t+\tau-d) s(t) dt + a^2 \int s(t+\tau-d) s(t-d)\big] dt \\ &= \int s(t+\tau) s(t) dt + a \int s(u+d+\tau) s(u)\big] du + a \int s(t+\tau-d) s(t) dt + a^2 \int s(u+\tau) s(u)\big] du \\ &= R_s(\tau) dt + a R_s(\tau+d) + a R_s(\tau-d) + a^2 R_s(\tau) \\ &= (1+a^2) R_s(\tau) dt + a R_s(\tau+d) + a R_s(\tau-d) \\ \end{split}\]

Comme l’autocorrélation est maximal en 0, alors :

  • \(R_s(\tau)\) est maximale en \(0\) ;

  • \(R_s(\tau+d)\) est maximale en \(-d\) ;

  • \(R_s(\tau-d)\) est maximale en \(+d\).

Donc \(R_x(\tau)\) présente des pics en \(-d\), \(0\) et \(d\), respectivement d’amplitudes \(1+a^2\), \(a\) et \(a\), ce qui permet de trouver \(d\) et \(a\) par lecture du graphique de l’autocorrélation.