Convolution

Exercice 1

Exercice 2

1. La convolution par \(y\) produit un décalage et une amplification du signal \(x\) :

\[\begin{split} (x*y)[n] = \begin{cases} 3(n-5) \quad\text{si }\, n\in\{5,\dots,10\} \\ 0 \quad\text{sinon} \end{cases} \end{split}\]

2. La convolution par \(y\) retourne un signal qui est la somme de deux signaux \(x\) décalés et amplifiés :

\[\begin{split} (x*y)[n] = \begin{cases} 1 \quad\text{si } n=0 \text{ ou } n=2 \\ 2 \quad\text{si } n=1 \\ 0 \quad\text{sinon} \end{cases} \end{split}\]

Exercice 3

On veut calculer :

\[ (x*x)(t) = \int x(\tau) x(t-\tau) \, d\tau \]

avec

\[\begin{split} x(t-\tau) = \begin{cases} A &\text{si $t-\tau\in[-T,T] \Leftrightarrow \tau\in[-T+t,T+t]$} \\ 0 &\text{sinon} \end{cases} \end{split}\]

Ainsi, suivant la valeur de \(t\), les intervalles \([-T,T]\) et \([-T+t,T+t]\) auront ou non des parties communes :

• si \(T+t<-T\), alors lorsque \(x(\tau)\) est non nul, donc pour \(\tau\in[-T,T]\), \(x(t-\tau)\) est nul car \(\tau>-T>T+t\), et donc le produit \(x(\tau)x(t-\tau)\) est nul.

• si \(-T<T+t<T\) (c’est-à-dire pour \(-2T<t<0\)), alors le produit \(x(\tau)x(t-\tau)\) est égal à \(A^2\) si \(\tau\in[-T,T+t]\) et donc :

  \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)x(t-\tau) \, d\tau = \int_{-T}^{T+t} A^2 \, d\tau = A^2 (2T+t) \]

• si \(-T<-T+t<T\) (c’est-à-dire pour \(0<t<2T\)), alors le produit \(x(\tau)x(t-\tau)\) est égal à \(A^2\) si \(\tau\in[-T+t,T]\) et donc :

  \[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)x(t-\tau) \, d\tau = \int_{-T+t}^{T} A^2 \, d\tau = A^2 (2T-t) \]

• de même que pour le premier cas, si \(-T+t>T\) alors pour tout \(\tau\) le produit \(x(\tau)x(t-\tau)\) est nul.

Le résultat est donc :

\[\begin{split} (x*x)(t) = \begin{cases} A^2(2T+t) \quad\text{si $-2T<t<0$} \\ A^2(2T-t) \quad\text{si $0<t<2T$} \\ 0 \quad\text{sinon} \end{cases} \\ \end{split}\]

Fig. 6 Résultat de la convolution \(x*x\) pour \(A=2\) et \(T=5\).

Exercice 4

Le signal \(x\) est le son émis et le signal \(y\) le son entendu. Le signal \(x\) est convolué par \(h\) tel que :

\[ h(t) = \sum_{k=0}^{K} a_k \delta(t-\tau_k) \]

où \(K\) est le nombre d’échos, \(a_k\) est l’ampllitude de chaque écho et \(\tau_k\) est le retard que subit chaque écho.