Exercices sur machine#

Série de Fourier d’un créneau#

On considère le signal créneau \(y(t)\) de période \(2T\) défini par :

\[\begin{split} y(t) = \begin{cases} A \quad &\text{si}\ -\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}, \\ 0 \quad &\text{sinon} \end{cases} \end{split}\]

avec \(A=1\) et \(T = 1\).

  • Tracez avec Python la série de Fourier de ce signal (qui a été calculée en TD), c’est-à-dire le spectre d’amplitude et de phase de \(y\), pour \(k\) allant de \(-10\) à \(10\).

On souhaite maintenant reconstruire le signal temporel en ne considérant que les \(K\) premières harmoniques.

  • Grâce à la formule de la série de Fourier inverse, tracez le signal temporel reconstruit pour une valeur de \(K\) fixée (c’est-à-dire pour \(k\in\{-K,\dots,K\}\)). Il peut être utile dans ce cas d’utiliser une boucle for sur \(k\). Attention, il faut considérer la partie réelle du résultat car le signal obtenu contient une composante imaginaire due aux erreurs numériques.

  • Quel signal obtenez-vous pour \(K=0\), puis pour \(K=1\) ?

  • Tracez ensuite le signal reconstruit en prenant des valeurs de \(K\) de plus en plus grandes. Que constatez-vous ?

Transformée de Fourier discrète d’un signal numérique#

On considère le signal suivant de longueur \(N=100\) échantillons :

\[\begin{split} z[n] = \begin{cases} 1 &\quad\text{si}\ 0 \leq n < 50, \\ 0 &\quad\text{sinon.} \end{cases} \end{split}\]

  • Créez et affichez le signal \(z[n]\). Une façon élégante de faire cela est de s’inspirer du premier exercice du TP 1.

L’algorithme FFT (Fast Fourier Transform), qui permet de calculer rapidement une TFD (transformée de Fourier discrète), est implémenté dans la fonction numpy.fft.fft. La TFD étant périodique de période \(N\), elle n’est tracée que sur une seule période. Les questions suivantes ont pour objectif de représenter la TFD de trois façons différentes.

Spectre non centré, en fonction des échantillons#

La fonction numpy.fft.fft retourne la TFD \(Z\) de \(z\) en fonction des échantillons fréquentiels \(k\), numérotés de \(0\) à \(N-1\).

  • Représentez le module et la phase de la TFD entre \(0\) et \(N-1\). Prenez soin de définir le vecteur des abscisses \(k\) que l’on réutilisera par la suite (vous pouvez par exemple utiliser numpy.arange).

Spectre centré, en fonction des échantillons#

En général, on préfère centrer la TFD autour de 0, donc entre les échantillons \(-N/2\) et \(N/2-1\) (si \(N\) est pair), ou \(-N/2\) et \(N/2\) (si \(N\) est impair).

Pour cela, il faut d’une part redéfinir le vecteur des abscisses (la fonction numpy.floor renvoie la partie entière qui permet de gérer la parité de \(N\)) :

k = np.arange(N) - floor(N/2)

et d’autre part utiliser numpy.fft.fftshift qui déplace la deuxième moitié d’un vecteur au début de celui-ci :

\[ v = [6\,5\,4\,3\,2\,1] \quad\rightarrow\quad \mathrm{fftshift}(v) = [3\,2\,1\,6\,5\,4] \]

  • Tracez le module et la phase de \(Z\) en les centrant autour de \(0\).

Spectre centré, en fonction des fréquences#

Chaque échantillon du spectre peut être relié à une fréquence particulière, à condition de connaître la « période d’échantillonnage » \(T_e\) entre deux échantillons du signal temporel. On peut montrer (cf. Échantillonnage) que la fréquence \(f\) correspondant à l’échantillon \(k\) est \(f = k/(N \, T_e)\).

  • Tracez le module et la phase de \(Z\) centrée et avec un axe des abscisses gradué en fréquences, dans le cas où \(T_e=0,1\) s.

Application#

  • Chargez le signal inconnu.csv (\(T_e=0,1\) ms) et tracez sa TFD pour déterminer quelle est la fréquence principale de ce signal.