Exercices sur feuille#
Exercice 1#
Représenter les signaux ci-dessous dans \(\mathbb{R}^5\) :
\[
\delta[n], \qquad u[n], \qquad \mathrm{rect}\left(\frac{n-2}{3}\right), \qquad \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right).
\]
Exercice 2#
On considère les signaux suivants :
\[\begin{split}
\begin{align*}
x &= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 & -4 & -4 \end{bmatrix},\\
y &= \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 & -1 & 5 & 5 \end{bmatrix},\\
z &= \begin{bmatrix} 5 & -2 & -1 & 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{split}\]
Calculez l’énergie de ces signaux.
Quels signaux sont orthogonaux ?
Exercice 3#
Le signal \(x = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 & 7 \end{bmatrix}\) est une version modifiée d’un des deux signaux ci-dessous. Calculez les distances adéquates pour trouver de quel signal \(x\) est le plus proche.
\[
u_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 10 & 10 \end{bmatrix},\qquad
u_2 = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 10 & 0 \end{bmatrix}.
\]
Exercice 4#
On considère le signal \(x = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\) de taille \(N=3\).
Calculez l’énergie de \(x\).
Les signaux \(w_i\) tels que
\[ \forall\,i\in\{0,\dots,N-1\}, \qquad w_i = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{N}} & \frac{1}{\sqrt{N}} e^{-j\frac{2\pi}{N}i} & \frac{1}{\sqrt{N}} e^{-j\frac{2\pi}{N}2i} \end{bmatrix} \]forment une base orthonormée qu’on appellera \(W\). Écrivez tous les vecteurs de la base \(W\).
Déterminez la projection \(x'\) de \(x\) dans la base \(W\) et calculez son énergie. Que remarquez-vous ?