Exercice 1#

• Montrez que le train d’impulsions $x^{\ast }$ défini par

  $$\begin{array}{r}{x}^{\ast }(t)=\{\begin{array}{ll}x(t)& \text{si}t\text{est multiple de}{T}_e\\ 0& \text{sinon},\end{array}\end{array}$$

  où $x$ est un signal analogique, s’écrit comme le produit d’un signal avec un train d’impulsions $Ш$ dont la période est à déterminer.

• Montrez que $x^{\ast }$ a pour transformée de Fourier

  $$X^{\ast }(f)=f_e\sum _{k}X(f-k{f}_e).$$

  La transformée de Fourier de ${Ш}_T(t)$ est $\frac{1}{T}{Ш}_{1/T}(f)$.

Exercice 2#

Rappelez les relations entre fréquence d’échantillonnage, période d’échantillonnage et fréquence de Nyquist.

Exercice 3#

Proposez une fréquence d’échantillonnage pour effectuer un enregistrement numérique d’un électrocardiogramme.

Exercice 4#

Une sinusoïde $x(t)$ de fréquence 10 kHz est échantillonnée à une fréquence de 8 kHz. Quel sera le signal analogique reconstruit à partir du signal numérique ?

Exercice 5#

Pour étudier l’effet du repliement spectral, on applique la chaîne de traitement ci-dessous à un signal sinusoïdal : le signal $x(t)=\cos (2\pi f_{0}t)$ est échantillonné à une fréquence $f_e=1/T_e$ pour obtenir le signal $y(t)$, puis filtré par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure $f_c=f_e/2$ pour obtenir le signal $z(t)$.

Dans un premier temps, on prend $f_0=2$ kHz et $f_e=6$ kHz.

• Représentez les modules des spectres de $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$.

• Comparez le signal $z(t)$ avec $x(t)$. Y a-t-il du repliement spectral ?

• Mêmes questions avec $f_e=3$ kHz.

Exercice 6#

Le signal $x(t)=A\sin (2\pi ft+\phi )$ avec $A=3$, $f=2$ Hz et $\phi =\pi /5$ est quantifié sur 8 bits avec un quantifieur uniforme par arrondi. Quel valeur du pas de quantification doit-on choisir pour obtenir la meilleure résolution sans saturation ?

Exercice 7#

Sur un CD audio, le signal sonore est quantifié sur 16 bits.

• Déterminez le nombre de niveaux de quantification.

• En supposant le signal sonore comme une sinusoïde d’amplitude $A$, quelle est la valeur maximale de l’erreur ?

• Comparez la puissance de l’erreur à la puissance du signal.

Exercice 8#

Un signal analogique de bande passante 20 kHz est numérisé sur 16 bits. Combien de bits par seconde au minimum doit traiter le convertisseur analogique-numérique ? En déduire la capacité de stockage d’un CD audio de 60 minutes, sachant que le son y est enregistré en stéréo.

Exercice 9#

Un convertisseur numérique-analogique 5 bits produit des tensions positives (commençant à 0 mV). Une entrée égale à 1 0 1 0 0 (bit de poids fort à gauche) correspond à une tension de 100 mV.

• Calculez le pas de quantification (résolution) du convertisseur.

• Calculez la tension maximale (pleine échelle) du convertisseur.

• Quelle tension correspond à une entrée égale à 1 1 1 0 1 ?