Modulation sur porteuse

Une modulation sur porteuse permet de générer un signal dont la bande passante est presque entièrement incluse dans une bande de fréquence éloignée de 0 Hz. Dans le cadre de ce cours, nous traiterons uniquement les modulations PAM linéaires. Ainsi, la modulation en déplacement de fréquence (FSK pour frequency shift keying), pour laquelle les symboles sont représentés par des sinusoïdes de fréquence différente, n’est pas linéaire et ne sera donc pas abordée.

Formulation

Les modulations PAM linéaires sur porteuse affectent à chaque symbole du message une sinusoïde de fréquence \(f_p\) dont l’amplitude \(a_k\) et la phase \(\varphi_k\) dépendent du symbole \(k\) :

\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t + \varphi_k). \]

Ce signal est la partie réelle d’un signal complexe \(\bar{x}(t)\) tel que :

\[\begin{split} \bar{x}(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k h(t-kd) \exp\big(j(2\pi f_p t + \varphi_k)\big) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k h(t-kd) \exp(j(2\pi f_p t) \exp(j\varphi_k) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k h(t-kd) \exp(j2\pi f_p t) \end{split}\]

où \(A_k = a_k \exp(j\varphi_k)\). C’est l’amplitude complexe de la modulation, qui peut se noter également sous forme cartésienne \(A_k = \alpha_k + j\beta_k\). On peut alors montrer que la modulation sur porteuse revient à deux modulations en bande de base multipliées par des porteuses sinusoïdales de même fréquence \(f_p\) en quadrature de phase :

\[ x(t) = \underbrace{ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t) }_{ \text{Composante en phase} } - \underbrace{ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \beta_k h(t-kd) \sin(2\pi f_p t) }_{ \text{Composante en quadrature} }. \]

Démonstration

En notant l’amplitude complexe sous la forme cartésienne \(A_k = \alpha_k + j\beta_k\), le signal complexe s’écrit :

\[\begin{split} \bar{x}(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\alpha_k + j\beta_k) h(t-kd) \exp(j2\pi f_p t) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (\alpha_k + j\beta_k) h(t-kd) \left( \cos(2\pi f_p t)+j\sin(2\pi f_p t) \right) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t) - \beta_k h(t-kd) \sin(2\pi f_p t) \\ &\; + j \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \sin(2\pi f_p t) + \beta_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t) \\ \end{split}\]

Le signal \(x(t)\) est la partie réelle de \(\bar{x}(t)\) et vaut bien :

\[ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t) - \beta_k h(t-kd) \sin(2\pi f_p t). \]

Pour réaliser une modulation sur porteuse, il faut donc définir trois types de quantités :

• la fréquence de la porteuse \(f_p\), qui est choisie en fonction des contraintes liées à l’application (capacité à traverser les obstacles, capacités du matériel, normes, etc.) ;

• la forme d’onde \(h(t)\), qui est le plus souvent la même que la forme d’onde de la modulation NRZ (soit une porte de durée \(d\)) ;

• les amplitudes complexes \(A_k\), ou de manière équivalente les amplitudes réelles \(\alpha_k\) et \(\beta_k\), ou encore les modules \(a_k\) et les phases \(\varphi_k\). Il se trouve que les modulations sur porteuse sont très souvent utilisées dans le cas de signaux \(M\)-aires avec \(M\) grand. On préfère donc représenter les amplitudes \(A_k\) graphiquement (dans le plan complexe) plutôt que sous la forme d’un tableau qui pourrait être très long. Cette représentation graphique s’appelle une constellation : c’est un graphe 2D où chaque point correspond à un symbole dont les coordonnées sont les amplitudes \(\alpha_k\) et \(\beta_k\). Les axes sont donc nommés \(I\) (pour in-phase component) et \(Q\) (pour quadrature component).

  La modulation 4-QAM est une modulation 4-aire dont le tableau de correspondance est :

  \(m_k\)	\(\alpha_k\)	\(\beta_k\)	\(a_k\)	\(\varphi_k\)	\(A_k\)
  \(0\)	\(+1\)	\(+1\)	\(\sqrt{2}\)	\(\pi/4\)	\(1+j\)
  \(1\)	\(-1\)	\(+1\)	\(\sqrt{2}\)	\(3\pi/4\)	\(-1+j\)
  \(2\)	\(-1\)	\(-1\)	\(\sqrt{2}\)	\(-3\pi/4\)	\(-1-j\)
  \(3\)	\(+1\)	\(-1\)	\(\sqrt{2}\)	\(-\pi/4\)	\(1-j\)

  La constellation associée est la suivante :

  

  Chaque point de la constellation correspond à une amplitude des composantes en phase et en quadrature, lesquelles sont directement reliées à l’énergie du signal. Par conséquent, l’énergie du signal est directement reliée au module des points de la constellation. En d’autres termes, plus l’espace occupé par la constellation est important, plus l’énergie nécessaire pour générer le signal modulé est importante.

Modulation à déplacement d’amplitude

Dans une modulation à déplacement d’amplitude (ASK pour amplitude shift keying), tous les symboles sont associés à une sinusoïde de même phase.

Ainsi, si \(\alpha_k\) varie et \(\beta_k=0\), alors chaque symbole est codé par un cosinus. À l’inverse, si \(\alpha_k=0\) et \(\beta_k\) varie, alors chaque symbole est codé par un sinus. En fait, toute constellation dont les points sont alignés sur une droite passant par l’origine est une modulation ASK (cela se vérifie en utilisant les règles de trigonométrie).

La modulation représentée par la constellation ci-dessous est bien ASK puisque les points sont alignés. Comme il y a 4 points dans la constellation, alors la modulation est 4-aire. On parle alors de modulation 4-ASK.

Le signal associé au message 013302 est donc :

Modulation à déplacement de phase

Dans une modulation à déplacement de phase (PSK pour phase shift keying), tous les symboles sont associés à une sinusoïde de même ampliltude, mais de phase différente.

Tous les points d’une constellation PSK sont répartis sur un cercle de centre l’origine. On peut le vérifier en utilisant la trigonométrie, mais aussi parce que l’amplitude complexe \(A_k\) peut s’écrire sous la forme \(a_k e^{j\varphi_k}\) où \(a_k\) est constant et \(\varphi_k\) varie.

Un exemple de modulation 4-PSK est représentée ci-dessous.

Le signal associé au message 013302 est donc :

Modulation d’amplitude en quadrature

Lorsque le nombre de symboles \(M\) devient grand, les modulations ASK et PSK ne sont plus satisfaisantes pour utiliser efficacement l’énergie émise : elles occupent un espace trop important. En effet, si les points sont éloignés les uns des autres, alors l’énergie nécessaire pour fabriquer le signal augmente. À l’inverse, si les points sont trop rapprochés, alors il y a un risque de les confondre à la réception (comme par exemple dans la Fig. 9). Le mieux est donc de répartir les symboles dans une zone la plus compacte tout en espaçant le plus possible les points. On ne peut donc plus se retreindre à organiser les points sur une ligne (comme la modulation ASK) ou un cercle (comme la modulation PSK).

La modulation d’amplitude en quadrature (QAM pour quadrature amplitude modulation) répond de façon simple à cette question. La Fig. 8 donne quelques exemples de modulation QAM.

Fig. 8 Exemples de modulations QAM.

Code de Gray

Le code de Gray est un code binaire où seul un bit change d’un nombre à l’autre, par exemple :

Nombre	Code binaire classique	Code de Gray
0	000	000
1	001	001
2	010	011
3	011	010
4	100	110
5	101	111
6	110	101
7	111	100

L’utilisation d’un code de Gray pour numéroter les symboles des constellations permet de limiter les erreurs de transmission. En effet, les perturbations du canal peuvent produire à la réception des erreurs sur l’amplitude et la phase du signal reçu, comme l’illustre la Fig. 9.

Fig. 9 Constellations 8-PSK des messages émis (à gauche) et reçus (à droite). Les symboles sont numérotés selon un code binaire classique (en bleu) ou de Gray (en vert). Quel est le symbole associé au point rouge ?

Dans l’exemple de la Fig. 9, et en considérant un code binaire classique, le point rouge peut être soit \(111\), soit \(000\) ce qui potentiellement aboutit à trois bits erronés ! En revanche, avec un code de Gray, le point rouge est soit \(100\), soit \(000\) ce qui réduit le nombre d’erreur à 1…

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