Exercices sur feuille

Rappels de probabilité¶

Exercice 1¶

• Représenter la densité de probabilité $\mathcal{U}[0\ ; 1]$.

• Calculez l’espérance et l’écart-type d’une variable aléatoire distribuée suivant une loi uniforme $\ \mathcal{U}[0\ ; 1]$.

Exercice 2¶

Calculez une estimation de l’espérance et de l’écart-type de la série de $N=4$ échantillons ci-dessous :

Le bruit dans les signaux¶

Exercice 3¶

Un signal à temps discret $x$ est bruité par un bruit blanc gaussien additif.

• Quel est le lien entre la puissance du bruit et son écart-type ?

• Exprimez l’écart-type du bruit en fonction du RSB et des échantillons du signal $x$.

Traitement des signaux bruités¶

Exercice 4¶

On rappelle que le filtre adapté correspond à l’intercorrélation $R_{yx}$ entre un signal observé $y$ et le motif recherché $x$.

• Donnez la définition de l’intercorrélation $R_{yx}$.

• En effectuant un changement de variable dans cette dernière expression, montrez que l’intercorrélation $R_{yx}$ s’écrit comme la convolution de $y$ avec un signal $h$ à déterminer.

Cette dernière question montre que le filtre adapté s’exprime également comme une convolution : c’est donc bien un filtre dont la réponse impulsionnelle est $h$.

Exercice 5¶

Montrez que le filtre moyenneur peut s’écrire comme une convolution entre le signal observé $y$ et une porte $h$.

Exercice 6¶

On dispose de $I$ mesures $y_i$ d’un même signal $x$ :

où les bruits $b_i$ sont supposés blancs gaussiens additifs.

• Écrivez la moyenne des mesures $y_i$ comme la somme d’un signal (que l’on notera $\tilde{x}$) et d’un bruit (que l’on notera $\tilde{b}$). Que valent $\tilde{x}$ et $\tilde{b}$ ?

• Déterminez l’espérance de $\tilde{b}$ en fonction de l’espérance de $b_i$.

• Déterminez la variance de $\tilde{b}$ en fonction de la variance de $b_i$.

• Montrez finalement que le RSB du signal moyenné est égal au RSB d’un signal $y_i$ plus un facteur $10\log(I)$.

Exercice 7¶

• Déterminez le polynôme de degré 0 (une constante, donc...) qui approxime au mieux les données d’abscisses $n=[0,\ 1]^T$ et d’ordonnées $y=[2,\ 3]^T$. Calculez l’erreur $\mathcal{J}$.

• Déterminez le polynôme de degré 1 (une droite affine) qui approxime au mieux les données d’abscisses $n=[0,\ 1,\ 2]^T$ et d’ordonnées $y=[2,\ 4,\ 4]^T$. Calculez l’erreur $\mathcal{J}$.

On rappelle que l’inverse d’une matrice $2\times2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ est égale à $\displaystyle\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.