Filtrage

Ce chapitre sur le filtrage se divise en plusieurs parties.

Nous commençons par définir les notions de filtre et de système linéaire invariant. Nous introduisons ensuite la notion de stabilité d’un système, et nous terminons par ce qui caractérise un filtre, en particulier sa réponse impulsionnelle et sa réponse fréquentielle.

Dans la seconde partie du chapitre nous expliquons pourquoi un filtre parfait, ou idéal, ne peut être qu’approximé dans la réalité.

La troisième partie ouvre une parenthèse en présentant la transformée de Laplace (qui s’applique sur les systèmes analogiques) et la transformée en Z (qui s’applique sur les systèmes numériques).

Enfin, la quatrième partie présentent des techniques pour synthétiser des filtres numériques (RII ou RIF) et analogiques.

Système¶

Un filtre est un système, c’est-à-dire un processus qui transforme un signal d’entrée $x$ en un signal de sortie $y$. On utilise souvent une représentation en schéma-bloc pour le représenter :

Nous ne considérons dans ce cours que des filtres linéaires et invariants. Ces filtres permettent de modifier un signal d’entrée en atténuant ou en amplifiant certaines de ses fréquences.

Système linéaire¶

Un système $\mathcal{S}$ est linéaire si, lorsque son entrée est la somme pondérée de deux signaux $x$ et $y$, alors sa sortie est la somme pondérée des réponses du système à $x$ et $y$ :

Cela signifie que les signaux qui composent l’entrée du système sont traitées par celui-ci de façon proportionnelle et additive. Par exemple, si l’entrée est amplifiée d’un facteur 2, alors la sortie le sera aussi. De plus, si l’entrée est la somme de deux signaux, alors la sortie sera la somme des sorties individuelles de ces deux signaux.

Système invariant¶

Un système est invariant dans le temps si son comportement et ses caractéristiques n’évoluent pas. Aussi, si $y$ est la sortie du sytème à une entrée $x$, ce sera toujours le cas quel que soit l’instant $n_0$ auquel apparaît $x$ :

Système linéaire invariant¶

Les systèmes à la fois linéaires et invariants jouent un rôle important en traitement du signal. On parle de systèmes linéaires invariant (linear-time invariant system ou LTI system). En effet, la linéarité et l’invariance ont un rôle fondamental pour trois raisons :

• la plupart des systèmes physiques possèdent naturellement ces deux propriétés,

• l’analyse d’un système linéaire invariant peut être très poussée car c’est un modèle simple d’un point de vue mathématique,

• la sortie d’un système linéaire invariant s’exprime par la convolution de l’entrée avec la réponse impulsionnelle du système (ce qui n’est pas le cas pour d’autres systèmes n’ayant pas ces deux propriétés).

✏️ Exercice 1

Système stable¶

Un système est stable si une petite modification de son entrée ne fait pas diverger sa sortie, c’est-à-dire qu’elle revient à son état initial où ne s’en éloigne pas indéfiniment (elle atteint toujours une valeur limite). Formellement, un système est stable si la sortie ne tend pas vers l’infini lorsque l’entrée ne tend pas non plus vers l’infini. On peut montrer que sa réponse impulsionnelle est absolument sommable (c’est-à-dire que l’intégrale, ou la somme, de la valeur absolue des valeurs de la réponse impulsionnelle n’est pas infinie).

Réponse impulsionnelle¶

Un filtre est caractérisé par sa réponse impulsionnelle (impulse response) $h$. Elle correspond à la sortie du filtre lorsque l’entrée est une impulsion $\delta$.

On montre que pour n’importe quelle entrée $x$, la sortie du filtre est la convolution entre $x$ et $h$ :

Si l’entrée est une impulsion, la sortie correspond bien à la réponse impulsionnelle $h$ puisque $y=h*x = h*\delta=h$.

Réponse fréquentielle¶

La réponse fréquentielle (frequency response) est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle. Elle représente les modifications apportées au signal d’entrée en fonction de la fréquence.

Comme la sortie $y$ du filtre est la convolution de l’entrée $x$ avec la réponse impulsionnelle $h$, alors la transformée de Fourier de la sortie $Y$ est la multiplication de la transformée de Fourier de l’entrée $X$ avec la réponse fréquentielle $H$ :

Très souvent, la réponse fréquentielle est complexe (puisqu’elle est issue du calcul d’une transformée de Fourier). Pour simplifier son analyse on étudiera plutôt son gain, sa phase et son retard de groupe.

Gain¶

Le gain (magnitude) $G$ d’un filtre est le module de sa réponse fréquentielle $H$ :

Il est souvent défini avec une échelle logarithmique et s’exprime alors en décibel (dB) :

Phase¶

La phase (phase) $\varphi$ d’un filtre est l’argument de la réponse fréquentielle :

où $\mathrm{Arg}$ est l’argument d’un nombre complexe.

Retard de groupe¶

Une autre représentation importante est le retard de groupe (group delay) $\tau$ défini comme la dérivée de la phase :

Une phase linéaire implique donc un retard de groupe constant.

✏️ Exercice 2