Corrections

Rappels de probabilité¶

Exercice 1¶

Exercice 2¶

Le bruit dans les signaux¶

Exercice 3¶

Pour rappel, l’espérance d’un bruit blanc est nulle.

• Par définition de l’estimateur de la variance, l’écart-type $\sigma_b$ du bruit est égal à la racine carrée de la puissance du bruit multipliée par $\frac{N}{N-1}$ puisque

  $$\sigma_b^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{n=1}^N b_n^2 = \frac{N}{N-1}P_b.$$

• Expression de l’écart-type du bruit en fonction du RSB et des échantillons du signal $x$ :

  $$\sigma_b = 10^{-\text{RSB}/20} \sqrt{ \frac{\sum_n x_n^2}{N-1} }.$$

Traitement des signaux bruités¶

Exercice 4¶

L’intercorrélation $R_{yx}$ est définie par :

Par changement de variable $k=n+m \Leftrightarrow m=k-n$, l’intercorrélation peut s’écrire :

Le produit de convolution a pour définition :

Il y a égalité entre le produit de convolution et l’intercorrélation lorsque $h[n-k]=x[k-n]$, ce qui signifie que la réponse impulsionnelle $h[n]$ du filtre est égale à $x[-n]$. Le filtre adapté est donc bien un filtre dont la réponse impulsionnelle est le signal $x$ retourné dans le temps.

Exercice 5¶

La sortie du filtre moyenneur est :

où

soit

Le filtre moyenneur s’écrit donc bien comme la convolution entre le signal observé $y$ et une porte $h$.

Exercice 6¶

• La moyenne des mesures $y_i$ est :

  $$\forall n,\qquad \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I y_i[n] = \underbrace{ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I x[n] }_{\tilde{x}[n]} + \underbrace{ \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I b_i[n] }_{\tilde{b}[n]}$$

  où $\tilde{x}[n] = x[n]$.

• On montre déjà que l’espérance de $\tilde{b}$ est nulle (rappelons que les $b_i$ sont blanc et gaussien, donc d’espérance nulle) :

  $$\mathbb{E}\left[\tilde{b}\right] = \mathbb{E}\left[\frac{1}{I} \sum_{i=1}^I b_i[n]\right] = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I \mathbb{E}\left[b_i[n]\right] = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I 0 = 0$$

• On peut donc calculer la variance de $\tilde{b}$ :

  $$\begin{align*} \mathbb{V}\left[\tilde{b}\right] &= \mathbb{E}\left[\tilde{b}^2\right] - \mathbb{E}\left[\tilde{b}\right]^2 \\ &= \mathbb{E}\left[\tilde{b}^2\right] - 0 \\ &= \mathbb{E}\left[\frac{1}{I^2} \left( \sum_{i=1}^I b_i[n] \right)^2 \right] \\ &= \frac{1}{I^2} \sum_{i=1}^I \mathbb{E}\left[b_i[n]^2\right] + \frac{1}{I^2} \sum_{i=1}^I \sum_{j \neq i} \mathbb{E}\left[b_i[n]b_j[n]\right] \end{align*}$$

  or, puisque les échantillons $b_i$ du bruit sont indépendants, alors $\mathbb{E}\left[b_i[n]b_j[n]\right]=0$ quels que soient $i$ et $j$. Il reste donc :

  $$\mathbb{V}\left[\tilde{b}\right] = \frac{1}{I^2} \sum_{i=1}^I \mathbb{E}\left[b_i[n]^2\right] = \frac{1}{I} \mathbb{V}\left[b_i\right]$$

• Ce derner résultat implique que le RSB du signal moyenné $\widetilde{\text{RSB}}$ est égal au RSB d’un signal $y_i$ plus un facteur $10\log(I)$ :

  $$\begin{align*} \widetilde{\text{RSB}} &= 10 \log_{10} \left(\frac{P_{\tilde{x}}}{P_{\tilde{b}}}\right) \\ &= 10 \log_{10} \left(\frac{P_{\tilde{x}}}{\frac{1}{I}P_{b_i}}\right) \\ &= 10 \log_{10}(I) + 10 \log_{10} \left(\frac{P_{\tilde{x}}}{P_{b_i}}\right) \\ &= 10 \log_{10}(I) + \text{RSB} \end{align*}$$

Exercice 7¶

• $\boldsymbol{\theta}=2,5$ est la valeur de la constante qui approxime au mieux les données. On peut calculer $\mathcal{J}=0,5$.

• $\boldsymbol{\theta}=\begin{pmatrix}\frac{7}{3} \\ 1\end{pmatrix}$ regroupe les coefficients de la droite qui approxime au mieux les données. Celle-ci est donc d’équation $z = \frac{7}{3} + n$. On peut calculer $\mathcal{J}=\frac{2}{3}$.