Détection de signaux - Traitement du signal 2

Lorsque l’on parle de « détecter un signal », cela signifie répondre à la question : « le signal $x$ est-il présent dans le signal observé $y$ ? ». Différentes techniques de détection existent, en fonction des connaissances que l’on a sur le signal recherché $x$ .

Dans cette section, le bruit est supposé blanc, gaussien et additif (AWGN).

Détection de signaux périodiques inconnus de période inconnue¶

Dans le cas où l’on cherche dans l’observation $y$ un signal $x$ périodique, mais qu’on ne connait ni sa période ni sa forme, alors l’autocorrélation de $y$ permet de déterminer si le signal $x$ est présent et quelle est sa période. On rappelle que l’autocorrélation correspond à mesurer la ressemblance d’un signal avec une version plus ou moins décalée de lui-même.

L’autocorrélation de l’observation $y = x + b$ est :

\begin{align*} R_y[m] &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y[n+m] y[n] \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (x[n+m]+b[n+m]) (x[n]+b[n]) \\ &= R_{x}[m] + R_{xb}[m] + R_{bx}[m] + R_{b}[m] \end{align*}

où :

$R_{x}$ est l’autocorrélation de $x$ , elle est périodique de même période que $x$ ;
$R_{xb}$ et $R_{bx}$ sont les intercorrélations entre $x$ et $b$ ; elles sont nulles puisque les deux signaux sont décorrélés ;
$R_{b}$ est l’autocorrélation du bruit $b$ et elle est nulle (sauf en zéro) puisque le bruit est blanc (ses échantillons sont décorrélés).

Finalement, l’autocorrélation $R_y$ est égale à l’autocorrélation de $x$ (sauf en zéro). Si $x$ est bien présent dans l’observation, alors $R_y$ est périodique et sa période est égale à la période de $x$ .

Le signal y est la somme du signal x (périodique, mais de forme et de période inconnues) et d’un bruit blanc b.
L’autocorrélation R_{y} fait apparaître un motif périodique de période 50
qui confirme la présence dans y d’un signal de même période. — Figure 1:Le signal $y$ est la somme du signal $x$ (périodique, mais de forme et de période inconnues) et d’un bruit blanc $b$ . L’autocorrélation $R_{y}$ fait apparaître un motif périodique de période 50 qui confirme la présence dans $y$ d’un signal de même période.

Détection de signaux périodiques inconnus de période connue¶

Ce cas est plus favorable que le précédent car on dispose d’une information supplémentaire. On cherche à déterminer si l’observation $y$ correspond au signal périodique $x$ (de période $T$ ) bruité par un bruit blanc $b$ . Le principe de détection consiste à effectuer l’intercorrélation de $y$ avec un signal auxiliaire $z$ périodique et de période $T$ (par exemple une simple sinusoïde).

En effet, l’intercorrélation de $y$ et $z$ est égale à :

\begin{align*} R_{yz}[m] &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} y[n+m] z[n] \\ &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} (x[n+m]+b[n+m]) z[n] \\ &= R_{xz}[m] + R_{bz}[m]. \end{align*}

$R_{xz}$ est périodique puisque $x$ et $z$ sont de même période, alors que $R_{bz}$ est nulle puisque $b$ et $z$ sont décorrélés. Ainsi, $R_{yz}$ sera périodique de période $T$ si le signal $x$ est présent.

Le signal observé y est la somme du signal périodique x (de forme inconnue mais de période connue) et d’un bruit blanc b.
Le signal auxiliaire z est ici une sinusoïde de même période que x.
L’intercorrélation R_{yz} fait apparaître un motif périodique de période 50
qui confirme la présence dans y d’un signal de même période. — Figure 2:Le signal observé $y$ est la somme du signal périodique $x$ (de forme inconnue mais de période connue) et d’un bruit blanc $b$ . Le signal auxiliaire $z$ est ici une sinusoïde de même période que $x$ . L’intercorrélation $R_{yz}$ fait apparaître un motif périodique de période 50 qui confirme la présence dans $y$ d’un signal de même période.

Détection d’un motif¶

Un « motif » est un signal déterministe connu et de durée finie. La technique suivante permet de déterminer si le motif est présent dans l’observation $y$ , et si oui à obtenir son instant d’apparition. L’observation est donc modélisée :

y[n] = x[n-k] + b[n]

où $k$ est l’instant d’apparition du motif $x$ .

On peut déterminer l’instant $k$ où le motif apparaît en calculant l’intercorrélation entre $y$ et $x$ .

Comme l’intercorrélation entre $y$ et $x$ est équivalente à la convolution entre $y$ et le motif $x$ retourné dans le temps ( $x[-n]$ ), cette technique est un filtrage, qu’on appelle « filtre adapté » (matched filter). On peut montrer qu’elle est la solution optimale pour maximiser le RSB dans le cadre d’un bruit additif. Elle est notamment utilisé dans des applications radar ou en communications numériques.

Figure 3:Le motif $x$ est une porte et le signal observé $y$ correspond à $x$ décalé de $k=60$ échantillons et bruité par un bruit blanc gaussien de RSB 15 dB. Seules les corrélations de $x$ avec $x$ et $y$ présentent un maximum clair, ce qui indique la présence du motif à cet instant.

✏️ Exercice 4