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Le message mm est discret et ses valeurs sont des symboles binaires (0 ou 1) ou MM-aires (M=16M=16 en hexadécimal par exemple).

Modulation

Principe

Une modulation numérique sur porteuse est une modulation en amplitude et en phase d’un message numérique. À chaque symbole kk du message numérique sont associés : une amplitude AkA_k et une phase φk\varphi_k. Le signal modulé x(t)x(t) s’écrit donc :

x(t)=∑k=0N−1Akh(t−kd)cos⁡(2πfpt+φk)x(t) = \sum_{k=0}^{N-1} A_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t + \varphi_k)

où NN est le nombre de symboles dans le message, fpf_p est la fréquence de la porteuse et h(t−kd)h(t-kd) est une porte de durée dd qui permet de fenêtrer l’effet du symbole kk à l’intervalle [kd,(k+1)d][kd, (k+1)d] :

h(t−kd)={1sikd≤t<(k+1)d0sinonh(t-kd) = \begin{cases} 1 &\text{si}\quad kd \leq t < (k+1)d \\ 0 &\text{sinon} \end{cases}

En utilisant les propriétés de trigonométrie, on peut montrer que x(t)x(t) s’écrit comme la somme de deux termes :

x(t)=∑k=−∞+∞αkh(t−kd)cos⁡(2πfpt)⏟Composante en phase+∑k=−∞+∞βkh(t−kd)sin⁡(2πfpt)⏟Composante en quadrature.x(t) = \underbrace{ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t) }_{ \text{Composante en phase} } + \underbrace{ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \beta_k h(t-kd) \sin(2\pi f_p t) }_{ \text{Composante en quadrature} }.

où αk=Akcos⁡(φk)\alpha_k = A_k \cos(\varphi_k) et βk=−Aksin⁡(φk)\beta_k = - A_k \sin(\varphi_k).

Démonstration

Puisque cos⁡(a+b)=cos⁡a⋅cos⁡b−sin⁡a⋅sin⁡b\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b, alors :

x(t)=∑k=0N−1Akh(t−kd)cos⁡(2πfpt+φk)=∑k=−∞+∞Akh(t−kd)[cos⁡(2πfpt)cos⁡(φk)−sin⁡(2πfpt)sin⁡(φk)]\begin{align*} x(t) &= \sum_{k=0}^{N-1} A_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t + \varphi_k) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k h(t-kd) \big[ \cos(2\pi f_p t)\cos(\varphi_k) - \sin(2\pi f_p t)\sin(\varphi_k) \big] \\ \end{align*}

Et donc en développant l’expression :

x(t)=∑k=−∞+∞[Akh(t−kd)cos⁡(2πfpt)cos⁡(φk)−Akh(t−kd)sin⁡(2πfpt)sin⁡(φk)]=∑k=−∞+∞Akcos⁡(φk)⏟αkh(t−kd)cos⁡(2πfpt)+∑k=−∞+∞−Aksin⁡(φk)⏟βkh(t−kd)sin⁡(2πfpt).\begin{align*} x(t) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \big[ A_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t)\cos(\varphi_k) - A_k h(t-kd) \sin(2\pi f_p t)\sin(\varphi_k) \big] \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \underbrace{ A_k \cos(\varphi_k) }_{\alpha_k} h(t-kd) \cos(2\pi f_p t) + \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \underbrace{ - A_k \sin(\varphi_k) }_{\beta_k} h(t-kd) \sin(2\pi f_p t). \end{align*}

Une modulation numérique sur porteuse est donc la somme de deux signaux modulés en amplitude !

Pour réaliser une modulation numérique sur porteuse, il faut donc définir la fréquence de la porteuse fpf_p et les amplitudes αk\alpha_k et βk\beta_k :

Constellation

Il se trouve que les modulations numériques sur porteuse sont très souvent utilisées dans le cas de signaux MM-aires avec MM grand. On utilise donc généralement une représentation graphique qu’on appelle « constellation » (Figure 1): c’est un graphe 2D où chaque point correspond à un symbole dont les coordonnées sont les amplitudes αk\alpha_k et βk\beta_k. Les axes sont nommés II (pour in-phase component) et QQ (pour quadrature component).

Exemple de constellation pour une modulation 4-QAM dont les M=4 symboles 0, 1, 2 et 3 sont associés respectivement aux couples (1,1), (-1,1), (-1,-1) et (1,-1).

Figure 1:Exemple de constellation pour une modulation 4-QAM dont les M=4M=4 symboles 0, 1, 2 et 3 sont associés respectivement aux couples (1,1)(1,1), (−1,1)(-1,1), (−1,−1)(-1,-1) et (1,−1)(1,-1).

En fonction de l’organisation des points dans la constellation, on distingue trois types de modulations numériques sur porteuse :

Exemple de constellations.

Figure 2:Exemple de constellations.

✏️ Exercice 6

Démodulation en présence de bruit

Le signal reçu après transmission via un canal bruité s’écrit :

y(t)=x(t)+b(t)y(t) = x(t) + b(t)

où b(t)b(t) et le bruit.

Puisqu’une modulation numérique sur porteuse est la somme de deux signaux modulés en amplitude, la première étape de la démodulation consiste à effectuer une démodulation cohérente sur les composantes en phase et en quadrature.

Par exemple, pour la composante en phase :

w(t)=y(t)cos⁡(2πfpt)=[∑k=−∞+∞αkh(t−kd)cos⁡(2πfpt)+∑k=−∞+∞βkh(t−kd)sin⁡(2πfpt)+b(t)]cos⁡(2πfpt)=∑k=−∞+∞αkh(t−kd)12(1+cos⁡(4πfpt))+∑k=−∞+∞βkh(t−kd)12sin⁡(4πfpt)+b(t)cos⁡(2πfpt)=12∑k=−∞+∞αkh(t−kd)⏟basse freˊquence+12∑k=−∞+∞αkh(t−kd)cos⁡(4πfpt)⏟haute freˊquence+12∑k=−∞+∞βkh(t−kd)sin⁡(4πfpt)⏟haute freˊquence+b(t)cos⁡(2πfpt)⏟bruit\begin{align*} w(t) &= y(t) \cos(2\pi f_p t) \\ &= \left[ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \cos(2\pi f_p t) + \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \beta_k h(t-kd) \sin(2\pi f_p t) + b(t) \right] \cos(2\pi f_p t) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \frac{1}{2} \left(1+\cos(4\pi f_p t)\right) + \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \beta_k h(t-kd) \frac{1}{2} \sin(4\pi f_p t) + b(t) \cos(2\pi f_p t) \\ &= \underbrace{ \frac{1}{2} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) }_{\text{basse fréquence}} + \underbrace{ \frac{1}{2} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \alpha_k h(t-kd) \cos(4\pi f_p t) }_{\text{haute fréquence}} + \underbrace{ \frac{1}{2} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \beta_k h(t-kd) \sin(4\pi f_p t) }_{\text{haute fréquence}} + \underbrace{ b(t) \cos(2\pi f_p t) }_{\text{bruit}} \end{align*}

Le signal w(t)w(t) est donc la somme d’un signal basse fréquence, d’un signal haute fréquence et de bruit. Comme les signaux haute fréquence sont des modulations sur porteuse centrées autour de 2fp2f_p, un filtre passe-bas de fréquence de coupure égale à fpf_p permet d’éliminer ces signaux (et une partie du bruit). Le signal basse fréquence résultant est un signal en bande de base sur lequel on effectue une démodulation en bande de base (filtre adapté, échantillonnage, seuillage) pour obtenir les symboles associés aux amplitudes αk\alpha_k.

Pour obtenir les symboles associés aux amplitudes βk\beta_k, on procède de la même manière en multipliant le signal reçu par sin⁡(2πfpt)\sin(2\pi f_p t).

✏️ Exercice 7

Traitement du signal 2
Modulation numérique en bande de base
Traitement du signal 2
Excercices sur feuille