Modulation analogique - Traitement du signal 2

La modulation analogique consiste à transmettre une porteuse (une sinusoïde de fréquence $f_p$ ) dont l’un des paramètres (amplitude, phase ou fréquence instantanée) évolue dans le temps en fonction du message $m(t)$ .

Un signal modulé en amplitude (AM : amplitude modulation) a pour expression :
$x(t) = A(t) \cos(2\pi f_p t) ;$
où $A(t)$ est une fonction de $m(t)$ ;
Un signal modulé en phase (PM : phase modulation) a pour expression :
$x(t) = a \cos(2\pi f_p t + \varphi(t))$
où $\varphi(t)$ est une fonction de $m(t)$ ;
Un signal modulé en fréquence (FM : frequency modulation) a pour expression :
$x(t) = a \cos(2\pi f(t) t)$
où $f(t)$ est une fonction de $m(t)$ .

Nous détaillons ci-après la modulation en amplitude qui est la technique la plus simple. En pratique, la modulation d’amplitude est utilisée par exemple en radio (grandes ondes, ondes moyennes ou ondes courtes), en particulier dans le cas de communications longues distances (dans le secteur militaire, maritime voire aéronautique).

Modulation¶

La transmission d’un signal $m(t)$ en modulation en amplitude consiste à transmettre le signal $x(t)$ qui est le produit d’un signal $A(t)$ (dépendant du message $m(t)$ ) par une porteuse sinusoïdale de fréquence $f_p$ . La modulation d’amplitude la plus simple est lorsque $A(t) = m(t)$ :

x(t) = m(t) \cos(2\pi f_p t)

Un exemple de modulation en amplitude est donné Figure 1.

Exemple de modulation d’amplitude du signal m(t) avec une porteuse de fréquence f_p = 10 Hz. — Figure 1:Exemple de modulation d’amplitude du signal $m(t)$ avec une porteuse de fréquence $f_p = 10$ Hz.

On peut considérer le signal $m(t)$ comme un signal à bande limité, c’est-à-dire que son spectre est nul au delà d’une certaine fréquence. D’un point de vue fréquentiel, la modulation correspond à un décalage du spectre du message autour de $-f_p$ et $+f_p$ :

\begin{align*} X(f) &= M(f) * \mathcal{F}[\cos(2\pi f_p t)](f) \\ &= M(f) * \frac{1}{2}\left[\delta(f-f_p)+\delta(f+f_p)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[M(f-f_p)+M(f+f_p)\right] \end{align*}

Figure 2:Effet de la modulation sur le spectre.

Il convient de faire attention à éviter un chevauchement entre les deux parties du spectre, donc il faut faire en sorte que $f_p$ soit supérieure à la bande passante du signal $m(t)$ . Si cette condition n’est pas remplie, alors la démodulation ne pourra pas retrouver le message original.

Démodulation¶

Il existe plusieurs techniques de démodulation. La plus efficace, bien que délicate à mettre en pratique, est la démodulation cohérente. Cela consiste dans un premier temps à multiplier le signal reçu $y(t)$ par la porteuse :

w(t) = y(t) \cos(2\pi f_p t)

soit en fréquentiel :

\begin{align*} W(f) &= Y(f) * \frac{1}{2}\left[\delta(f-f_p)+\delta(f+f_p)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[Y(f-f_p)+Y(f+f_p)\right] \\ &= \frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2} \big( M(f-2f_p) + M(f+f_p-f_p) \big) + \frac{1}{2} \big( M(f-f_p+f_p) + M(f+2f_p) \big) \right] \\ &= \frac{1}{4} M(f-2f_p) + \frac{1}{2} M(f) + \frac{1}{4} (f+2f_p) \end{align*}

Figure 3:Effet de la multiplication du signal modulé par la porteuse.

Le résultat de cette multiplication par la porteuse produit un spectre contenant trois occurrences du spectre du message :

une occurrence centrée sur 0 dont l’amplitude est divisée par 2,
une occurrence centrée sur $-2f_p$ dont l’amplitude est divisée par 4,
une occurrence centrée sur $+2f_p$ dont l’amplitude est divisée par 4.

Pour récupérer l’occurrence en basse fréquence et supprimer les occurrences dans les hautes fréquences, il suffit d’appliquer un filtre passe-bas de fréquence de coupure $f_p$ . Un gain appliqué sur la sortie du filtre permet de retrouver le message $m(t)$ avec une amplitude convenable.

✏️ Exercice 1
✏️ Exercice 2
✏️ Exercice 3
✏️ Exercice 4