🖍️ Correction - Traitement du signal 1

Exercice 1¶

Soit $x$ un signal périodique de période $T$ . Vérifions que son autocorrélation est également périodique de période $T$ . On a :

R_x(\tau) = \int x(t+\tau) x(t) dt \quad\Leftrightarrow\quad R_x(\tau+T) = \int x(t+\tau+T) x(t) dt

Or puisque $x(t+T) = x(t)$ :

R_x(\tau+T) = \int x(t+\tau) x(t) dt = R_x(\tau).

L’intercorrélation d’un signal périodique de période $T$ est donc également périodique de période $T$ .

Exercice 2¶

Par définition :

R_x(\tau) = \int x(t+\tau) x(t) dt.

Or, le terme $x(t+\tau) x(t)$ peut être remplacé par une somme de trois termes qui va nous aider à démontrer que l’autocorrélation est maximale en 0. En effet :

\big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2 = x(t)^2 - 2x(t)x(t+\tau) + x(t+\tau)^2

et donc :

x(t)x(t+\tau) = \frac{1}{2}x(t)^2 + \frac{1}{2}x(t+\tau)^2 - \frac{1}{2}\big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2.

En remplaçant l’expression de $x(t)x(t+\tau)$ dans l’expression de l’autocorrélation, puis en développant l’intégrale, on obtient :

R_x(\tau) = \frac{1}{2}\int x(t)^2 dt + \frac{1}{2}\int x(t+\tau)^2 dt - \frac{1}{2}\int \big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2 dt

Or le deuxième terme est égal au premier : $\int x(t+\tau)^2 dt = \int x(t)^2 dt$ , (il suffit de faire un changement de variable), qui est aussi $R_x(0)$ . Cela implique :

R_x(\tau) = R_x(0) - C \\

où $C = \frac{1}{2}\int \big[x(t) - x(t+\tau) \big]^2 x(t) dt$ est nécessairement positif.

En conclusion, on a toujours $R_x(\tau) \leq R_x(0)$ , ce qui signifie que $R_x(0)$ est bien le maximum de l’autocorrélation.

Cela se comprend aisément puisque l’autocorrélation mesure la ressemblance d’un signal avec une version décalée de lui-même. La ressemblance est forcément la plus grande lorsque le décalage est nul.

Exercice 3¶

Cet exercice est très similaire à l’Exercice 3 du produit de convolution.

Comme $x$ est à support limité (il est nul en dehors de $\{-N,\dots,N\}$ ), et égal à 1 dans l’intervalle, alors sont autocorrélation s’écrit :

R_{x}[m] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n+m] x[n] = \sum_{n=-N}^{N} x[n+m]

où

x[n+m] = \begin{cases} 1 \quad&\text{si } n \in \{-N-m,\dots,N-m\} \\ 0 \quad&\text{sinon}. \\ \end{cases}

Donc le signal à sommer est non nul dans $\{-N-m,\dots,N-m\}$ mais la somme se fait uniquement sur $\{-N,\dots,N\}$ . Donc le résultat dépend de la valeur de $m$ .

si $m>2N \Leftrightarrow N-m < -N$ , alors $x[n+m]$ est toujours nul entre les bornes de la somme et donc $R_x[m]=0$ .
si $0 < m \leq 2N$ , alors $-N \leq N-m < N$ . Les termes de la somme qui ne sont pas nul sont donc ceux compris entre $-N$ et $N-m$ ; les termes suivants de $N-m+1$ à $N$ sont nuls. Donc :
$R_{x}[m] = \sum_{n=-N}^{N-m} x[n+m] = \sum_{n=-N}^{N-m} 1 = 2N-m+1.$
si $-2N \leq m \leq 0$ , alors $-N \leq -N-m \leq N$ . Les termes de la somme qui ne sont pas nul sont donc ceux compris entre $-N-m$ et $N$ ; les termes précédents de $-N$ à $-N-m-1$ sont nuls. Donc :
$R_{x}[m] = \sum_{n=-N-m}^{N} x[n+m] = \sum_{n=-N-m}^{N} 1 = 2N+m+1.$
si $m<-2N \Leftrightarrow -N-m > N$ , alors $x[n+m]$ est toujours nul entre les bornes de la somme et donc $R_x[m]=0$ .

Finalement, l’autocorrélation est un signal triangle :

R_{x}[m] = \begin{cases} 0 \quad&\text{si } m>2N, \\ 2N-m+1 \quad&\text{si } 0 < m \leq 2N, \\ 2N+m+1 \quad&\text{si } -2N \leq m \leq 0, \\ 0 \quad&\text{si } m<-2N. \end{cases}

Exercice 4¶

\begin{align*} R_x(\tau) &= \int x(t+\tau) x(t) dt \\ &= \int \big[s(t+\tau) + a\,s(t+\tau-d)\big] \big[s(t) + a\,s(t-d)\big] dt \\ &= \int s(t+\tau) s(t) dt + a \int s(t+\tau) s(t-d)\big] dt + a \int s(t+\tau-d) s(t) dt + a^2 \int s(t+\tau-d) s(t-d)\big] dt \\ &= \int s(t+\tau) s(t) dt + a \int s(u+d+\tau) s(u)\big] du + a \int s(t+\tau-d) s(t) dt + a^2 \int s(u+\tau) s(u)\big] du \\ &= R_s(\tau) dt + a R_s(\tau+d) + a R_s(\tau-d) + a^2 R_s(\tau) \\ &= (1+a^2) R_s(\tau) dt + a R_s(\tau+d) + a R_s(\tau-d) \\ \end{align*}

Comme l’autocorrélation est maximale en 0, alors :

$R_s(\tau)$ est maximale en 0 ;
$R_s(\tau+d)$ est maximale en $-d$ ;
$R_s(\tau-d)$ est maximale en $+d$ .

Donc $R_x(\tau)$ présente des pics en $-d$ , 0 et $d$ , respectivement d’amplitudes $1+a^2$ , $a$ et $a$ , ce qui permet de trouver $d$ et $a$ par lecture du graphique de l’autocorrélation.