Produit de convolution - Traitement du signal 1

Définition¶

Le produit de convolution est une opération mathématique entre deux signaux qui calcule un troisième signal. Il est noté $*$ . Il décrit l’effet que produit un instrument de mesure ou un système sur une mesure, caractérisé par sa réponse impulsionnelle $h$ .

Figure 1:Illustration du produit de convolution.

Le produit de convolution entre deux signaux $x$ et $h$ produit un troisième signal $y$ .

Signaux à temps continu

y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) d\tau

Signaux à temps discret

y[n] = (x*h)[n] = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] h[n-m]

L’animation ci-dessous illustre l’effet du produit de convolution entre les signaux $x$ ● et $h$ ●. La première opération effectuée lors du calcul d’une convolution est le renversement et le décalage temporel d’un des deux signaux (ici nous avons choisi de renverser $h(t)$ ●). La valeur du décalage $t$ est modifiable à l’aide de la souris (ou du doigt). Ensuite, les signaux $x(\tau)$ ● et $h(t-\tau)$ ● sont multipliés entre eux et l’aire obtenue (représentée par la surface verte ● sur le quatrième graphe) correspond à $y(t)$ ●. En faisant glisser $t$ , on obtient le signal $y(t)$ ● en entier.

Dans cette deuxième animation (ci-dessous), vous pouvez dessiner les signaux à temps discret $x$ et $h$ pour visualiser le résultat sur $y$ .

Exemples¶

Suspension de véhicule¶

La Figure 2 représente les signaux $x$ , $h$ et $y$ dans le cas d’une simulation réaliste : le système de suspension d’un véhicule. Si $x$ représente le profil de la route (ici, avec deux bosses) et que $h$ est le signal qui caractérise le système de suspension, alors le véhicule va osciller suivant le signal $y$ .

Figure 2:Simulation d’une suspension (désagréable) de véhicule.

Le conducteur est pas mal secoué dans sa 2CV !

Spectre chimique¶

En physique, un spectre représente la quantité de lumière émise ou transmise par un objet. Il est mesuré par un spectromètre. Or, un spectromètre n’est jamais parfait, comme tous les instruments de mesure. Malgré la qualité de sa conception, il reste toujours un peu de « flou ». Ce principe est représent Figure 4 : $x$ est le spectre réel de l’objet, tel qu’on voudrait le voir, mais à cause du flou introduit par le spectromètre (signal $h$ ), l’observation n’est pas aussi précise (signal $y$ ). En particulier sur cet exemple, la première raie, très petite, n’est plus visible.

Figure 4:Simulation d’un spectre de lumière observé avec un spectromètre.

Effet sonore¶

Le produit de convolution, modélise également l’effet du filtrage d’un signal, comme on le verra en deuxième année. Dans l’exemple représenté Figure 5, un effet sonore est appliqué sur le signal audio $x$ par l’intermédiaire du filtre $h$ (qui est appelé passe-bas), et cela résulte en le signal $y$ .

# Effet sonore

import numpy as np
from scipy.io import wavfile
from scipy.signal import butter, lfilter
from IPython.display import Audio

# Chargement du son
fe, x = wavfile.read('../src/Elise.wav')

# Signaux
N = len(x)
n = np.arange(0, N)
delta = np.zeros(x.shape)
delta[1000] = 1
[num, den] = butter(5, .03)
h = lfilter(num, den, delta)
y = lfilter(num, den, x)

# Sous-échantillonnage pour l'affichage
D = 100
n2 = n[0::D]
x2 = x[0::D]
h2 = h[0::D]
y2 = y[0::D]

Vous pouvez constater l’effet du filtrage en écoutant le signal audio original :

Audio(x, rate=fe)

Loading...

... et le signal filtré :

Audio(y, rate=fe)

Loading...

Propriétés¶

Soient $f$ , $g$ et $h$ des signaux (à temps continu ou discret), et $a$ une constante. Le produit de convolution vérifie les propriétés suivantes.

Commutativité

f*g = g*f

Associativité

f*(g*h) = (f*g)*h

Distributivité

f*(g+h) = f*g + f*h

Identité

f*\delta = f

Translation

En définissant $x_{t_0}(t) = x(t-t_0)$ et $y_{t_0}(t) = y(t-t_0)$ , alors :

x_{t_0}*y = x*y_{t_0}

✏️ Exercice 1
✏️ Exercice 2
✏️ Exercice 3
✏️ Exercice 4