Intercorrélation - Traitement du signal 1

Définition¶

L’intercorrélation de deux signaux $x(t)$ et $y(t)$ est un signal $R_{xy}(\tau)$ qui mesure la ressemblance du signal $x(t+\tau)$ avec $y(t)$ .

Signaux à temps continu

R_{xy}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t+\tau) y(t) dt

Signaux à temps discret

R_{xy}[m] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n+m] y[n]

Propriété :

l’intercorrélation de signaux périodiques de même période $T$ est également périodique de période $T$ .

Exemples¶

En communications numériques, il n’est pas rare que le récepteur du sytème de communication reçoive un signal de l’émetteur qui soit très brouillé (on dit qu’il est bruité). Par exemple, si le récepteur reçoit le signal $x$ représenté Figure 1, et que ce signal est en réalité une suite d’échelons d’amplitude −1 (représentant le bit 0) ou +1 (représentant le bit 1), alors l’intercorrélation de $x$ avec un échelon $y$ permet de détecter à chaque instant si le signal reçu ressemble à $y$ (dans ce cas, on a reçu un 1) ou pas (on a reçu un 0).

Intercorrélation de x avec y. Le signal x véhicule le message 10011010 codé en NRZ avec le motif y. — Figure 1:Intercorrélation de $x$ avec $y$ . Le signal $x$ véhicule le message 10011010 codé en NRZ avec le motif $y$ .

Un autre exemple d’utilisation de l’intecorrélation est la mesure de la fréquence d’un signal. Si on dispose d’un signal sinusoïdal $x$ , mais qu’il est très bruité et que l’on cherche sa fréquence inconnue, alors on peut représenter l’intercorrélation de $x$ avec plusieurs sinusoïdes $y$ dont on connaît la fréquence. La sinusoïde qui permet d’obtenir la plus grande intercorrélation sera la plus ressemblante : on pourra alors en déduire la valeur de la fréquence inconnue. Ce principe est illustré Figure 2.

Intercorrélation de x (une sinusoïde bruitée de fréquence 0,5 Hz) avec un sinusoïde de fréquence variable.
La corrélation la plus forte est obtenue pour une sinusoïde de 0,5 Hz. — Figure 2:Intercorrélation de $x$ (une sinusoïde bruitée de fréquence 0,5 Hz) avec un sinusoïde de fréquence variable. La corrélation la plus forte est obtenue pour une sinusoïde de 0,5 Hz.

Autocorrélation¶

L’autocorrélation est l’intercorrélation d’un signal avec lui-même.

Signaux à temps continu

R_{x}(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t+\tau) x(t) dt

Signaux à temps discret

R_{x}[m] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n+m] x[n]

L’autocorrélation possède quelques propriétés remarquables :

l’autocorrélation est symétrique car $R_{x}(\tau) = R_{x}(-\tau)$ (pour le vérifier, reprendre la définition en effectuant un changement de variable)
l’autocorrélation en 0 est la valeur maximale de l’autocorrélation (puisque c’est pour un décalage nul $\tau=0$ que le signal se ressemble le plus à lui-même). C’est par ailleurs l’énergie du signal :
$R_{x}(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)^2 dt.$
L’autocorrélation d’un signal périodique de période $T$ est également périodique de période $T$ (puisqu’en décalant le signal de $T$ , il ressemble à nouveau avec lui-même)

✏️ Exercice 1
✏️ Exercice 2
✏️ Exercice 3
✏️ Exercice 4