🖍️ Correction

Exercice 1¶

Exercice 2¶

1. Énergies :

   $$\begin{align*} \|x\|^2 &= 71,\qquad \|y\|^2 &= 63,\qquad \|z\|^2 &= 41 \end{align*}$$

2. Produits scalaires :

   $$\langle x,y \rangle = -36,\qquad \langle x,z \rangle = 0,\qquad \langle y,z \rangle = 9$$

   Les signaux $x$ et $z$ sont orthogonaux car leur produit scalaire est nul.

Exercice 3¶

On calcule les distances :

La distance la plus petite étant entre $x$ et $u_1$, cela signifie que $x$ est le plus proche de $u_1$.

Exercice 4¶

1. Énergie de $x$ :

   $$\|x\|^2 = 50$$

2. Vecteurs de la base $W$ :

   $$\begin{align*} w_0 &= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix},\\ w_1 &= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} e^{-j\frac{2\pi}{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} e^{-j\frac{4\pi}{3}} \end{bmatrix},\\ w_2 &= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} e^{-j\frac{4\pi}{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} e^{-j\frac{8\pi}{3}} \end{bmatrix}. \end{align*}$$

3. La projection $x'$ de $x$ consiste à déterminer les échantillons du signal $x'$ en calculant le produit scalaire entre $x$ et chaque signal de la base.

   $$\begin{align*} x'[0] &= \langle x,w_0 \rangle = 4 \sqrt{3},\\ x'[1] &= \langle x,w_1 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 3 + 4 e^{j\frac{2\pi}{3}} + 5 e^{-j\frac{4\pi}{3}} \right),\\ x'[2] &= \langle x,w_2 \rangle = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 3 + 4 e^{j\frac{4\pi}{3}} + 5 e^{-j\frac{8\pi}{3}} \right). \end{align*}$$

   Le calcul de l’énergie de $x'$ donne $\|x'\|^2 = 50$ : il y a donc conservation de l’énergie lors de la projection d’un signal dans une base orthonormée.