Exercices sur feuille
Exercice 1 ¶ Représenter les signaux ci-dessous dans R 5 \mathbb{R}^5 R 5
δ [ n ] , u [ n ] , r e c t ( n − 2 3 ) , cos ( π n 2 ) . \delta[n], \qquad u[n], \qquad \mathrm{rect}\left(\frac{n-2}{3}\right), \qquad \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right). δ [ n ] , u [ n ] , rect ( 3 n − 2 ) , cos ( 2 πn ) . Exercice 2 ¶ On considère les signaux suivants :
x = [ 1 3 5 2 − 4 − 4 ] , y = [ 2 − 2 2 − 1 5 5 ] , z = [ 5 − 2 − 1 3 1 − 1 ] . \begin{align*}
x &= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 2 & -4 & -4 \end{bmatrix},\\
y &= \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 & -1 & 5 & 5 \end{bmatrix},\\
z &= \begin{bmatrix} 5 & -2 & -1 & 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}.
\end{align*} x y z = [ 1 3 5 2 − 4 − 4 ] , = [ 2 − 2 2 − 1 5 5 ] , = [ 5 − 2 − 1 3 1 − 1 ] . Calculez l’énergie de ces signaux.
Quels signaux sont orthogonaux ?
Exercice 3 ¶ Le signal x = [ 4 − 2 10 7 ] x = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 10 & 7 \end{bmatrix} x = [ 4 − 2 10 7 ] x x x
u 1 = [ 0 0 10 10 ] , u 2 = [ 10 0 10 0 ] . u_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 10 & 10 \end{bmatrix},\qquad
u_2 = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 10 & 0 \end{bmatrix}. u 1 = [ 0 0 10 10 ] , u 2 = [ 10 0 10 0 ] . Exercice 4 ¶ On considère le signal x = [ 3 4 5 ] x = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} x = [ 3 4 5 ] N = 3 N=3 N = 3
Calculez l’énergie de x x x
Les signaux w i w_i w i
∀ i ∈ { 0 , … , N − 1 } , w i = [ 1 N 1 N e − j 2 π N i 1 N e − j 2 π N 2 i ] \forall\,i\in\{0,\dots,N-1\}, \qquad
w_i = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{N}} &
\frac{1}{\sqrt{N}} e^{-j\frac{2\pi}{N}i} &
\frac{1}{\sqrt{N}} e^{-j\frac{2\pi}{N}2i}
\end{bmatrix} ∀ i ∈ { 0 , … , N − 1 } , w i = [ N 1 N 1 e − j N 2 π i N 1 e − j N 2 π 2 i ] forment une base orthonormée qu’on appellera W W W W W W
Déterminez la projection x ′ x' x ′ x x x W W W