Exercices sur feuille

Exercice 1¶

• Montrez que le train d’impulsions $x^*$ défini par

  $$x^*(t) = \begin{cases} x(t) &\text{si}\ t\ \text{est multiple de}\ T_e \\ 0 &\text{sinon}, \end{cases}$$

  où $x$ est un signal analogique, s’écrit comme le produit d’un signal avec un train d’impulsions $Ш$ dont la période est à déterminer.

• Montrez que $x^*$ a pour transformée de Fourier

  $$X^*(f) = f_e \sum_k X(f-kf_e).$$

  La transformée de Fourier de $Ш_T(t)$ est $\frac{1}{T} Ш_{1/T}(f)$.

Exercice 2¶

Rappelez les relations entre fréquence d’échantillonnage, période d’échantillonnage et fréquence de Nyquist.

Exercice 3¶

Proposez une fréquence d’échantillonnage pour effectuer un enregistrement numérique d’un électrocardiogramme.

Exercice 4¶

Une sinusoïde $x(t)$ de fréquence 10 kHz est échantillonnée à une fréquence de 8 kHz. Quel sera le signal analogique reconstruit à partir du signal numérique ?

Exercice 5¶

Pour étudier l’effet du repliement spectral, on applique la chaîne de traitement ci-dessous à un signal sinusoïdal : le signal $x(t) = \cos(2\pi f_0 t)$ est échantillonné à une fréquence $f_e=1/T_e$ pour obtenir le signal $y(t)$, puis filtré par un filtre passe-bas idéal de fréquence de coupure $f_c = f_e/2$ pour obtenir le signal $z(t)$.

Dans un premier temps, on prend $f_0=2$ kHz et $f_e=6$ kHz.

• Représentez les modules des spectres de $x(t)$, $y(t)$ et $z(t)$.

• Comparez le signal $z(t)$ avec $x(t)$. Y a-t-il du repliement spectral ?

• Mêmes questions avec $f_e = 3$ kHz.

Exercice 6¶

Le signal $x(t) = A \sin(2 \pi f t + \varphi)$ avec $A=3$, $f=2$ Hz et $\varphi=\pi/5$ est quantifié sur 8 bits avec un quantifieur uniforme par arrondi. Quel valeur du pas de quantification doit-on choisir pour obtenir la meilleure résolution sans saturation ?

Exercice 7¶

Sur un CD audio, le signal sonore est quantifié sur 16 bits.

• Déterminez le nombre de niveaux de quantification.

• En supposant le signal sonore comme une sinusoïde d’amplitude $A$, quelle est la valeur maximale de l’erreur ?

• Comparez la puissance de l’erreur à la puissance du signal.

Exercice 8¶

Un signal analogique de bande passante 20 kHz est numérisé sur 16 bits. Combien de bits par seconde au minimum doit traiter le convertisseur analogique-numérique ? En déduire la capacité de stockage d’un CD audio de 60 minutes, sachant que le son y est enregistré en stéréo.

Exercice 9¶

Un convertisseur numérique-analogique 5 bits produit des tensions positives (commençant à 0 mV). Une entrée égale à 1 0 1 0 0 (bit de poids fort à gauche) correspond à une tension de 100 mV.

• Calculez le pas de quantification (résolution) du convertisseur.

• Calculez la tension maximale (pleine échelle) du convertisseur.

• Quelle tension correspond à une entrée égale à 1 1 1 0 1 ?