Propriétés des transformations de Fourier

Propriétés générales¶

Dans cette section, $x$ et $y$ représentent deux signaux temporels dont les transformations de Fourier sont notées respectivement $X$ et $Y$ . Si le signal $x$ est périodique, sa période est notée $N$ (dans le cas discret) ou $T$ (dans le cas continu). Par ailleurs, on dispose des constantes :

a, b \in \mathbb{C},\qquad \alpha,\, t_0,\, f_0 \in \mathbb{R}\qquad \text{et}\qquad M\in \mathbb{N}.

On note $\mathcal{F}$ l’une des quatre transformations de Fourier. Les propriétés ci-dessous sont communes à toutes les transformations de Fourier, sauf mention contraire.

Linéarité¶

Les transformations de Fourier sont linéaires :

ax+by \quad\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad aX+bY

Convolution¶

La convolution dans un domaine correspond à une multiplication dans l’autre domaine :

x \cdot y \quad\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X*Y \\ x*y \quad\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X \cdot Y

Changement d’échelle¶

Pour la transformée de Fourier, la contraction dans un domaine correspond à une dilatation dans l’autre domaine (en temporel, le signal est comprimé si $\alpha>1$ et dilaté si $0<\alpha<1$ ) :

x(\alpha t) \quad\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad \frac{1}{|\alpha|} X\left(\frac{f}{\alpha}\right)

Pour la série de Fourier, la contraction ou la dilatation n’a aucun impact sur le résultat, car la série de Fourier est indépendante de la valeur de la période du signal.

En temps discret, le principe de multiplication de la variable temporelle par une constante n’est pas possible.

Translation¶

La translation dans un domaine correspond à une multiplication par une exponentielle complexe dans l’autre domaine :

Translation en temporel :
$\begin{align*} &\text{SF :}\qquad &x(t-t_0) \quad&\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X[k] e^{-j2\pi k t_0 / T} \\ &\text{TF :}\qquad &x(t-t_0) \quad&\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X(f) e^{-j2\pi f t_0} \\ &\text{SFD :}\qquad &x[n-n_0] \quad&\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X[k] e^{-j2\pi k n_0 / N} \end{align*}$
Translation en fréquentiel :
$\begin{align*} &\text{SF :}\qquad &x(t) e^{+j2\pi k_0 t / T} \quad&\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X[k-k_0] \\ &\text{TF :}\qquad &x(t) e^{+j2\pi f_0 t} \quad&\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X(f-f_0) \\ &\text{SFD :}\qquad &x(t) e^{+j2\pi k_0 n / N} \quad&\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X[k-k_0] \end{align*}$
La multiplication par une exponentielle complexe correspond à une « modulation » en temporel et à un « déphasage » en fréquentiel.

Discrétisation et périodicité¶

À partir du tableau synthétisant les différentes transformées de Fourier, on constate que la discrétisation de l’espace d’un domaine est équivalent à la périodicité du signal dans l’autre domaine. Par conséquent, l’aspect continu de l’espace d’un domaine est équivalent à l’apériodicité du signal dans l’autre domaine.

Autrement dit :

signal à temps discret $\quad\Leftrightarrow\quad$ spectre périodique
signal à temps continu $\quad\Leftrightarrow\quad$ spectre apériodique
signal temporel périodique $\quad\Leftrightarrow\quad$ spectre discret en fréquence
signal temporel apériodique $\quad\Leftrightarrow\quad$ spectre continu en fréquence

Dualité¶

La propriété de dualité indique que si $x(t)$ a pour transformée de Fourier $X(f)$ , alors $X(t)$ a pour transformée de Fourier $x(-f)$ :

x(t) \quad\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad X(f) \qquad\Leftrightarrow\qquad X(t) \quad\xrightarrow{\;\mathcal{F}\;}\quad x(-f).

La propriété de dualité est utile pour obtenir la transformée de Fourier d’un signal lorsque celle-ci est compliquée à calculer.

✏️ Exercice 2
✏️ Exercice 3
✏️ Exercice 4
✏️ Exercice 5
✏️ Exercice 6
✏️ Exercice 7
✏️ Exercice 8

Théorème de Parseval–Plancherel¶

Le théorème de Parseval–Plancherel signifie qu’il y a conservation de l’énergie dans les deux domaines : un signal temporel et sa transformation de Fourier ont la même énergie.

\begin{align*} &\text{SF :}\qquad &\frac{1}{T} \int_T |x(t)|^2 dt &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} |X[k]|^2 \\ &\text{TF :}\qquad &\int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 dt &= \int_{\infty}^{+\infty} |X(f)|^2 df \\ &\text{SFD :}\qquad &\sum_{n=0}^{N-1} |x[n]|^2 &= \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |X[k]|^2 \end{align*}

Conditions de Dirichlet¶

Les conditions de Dirichlet assurent que la reconstruction d’un signal $x(t)$ à partir des coefficients de sa série de Fourier est égale à $x(t)$ , sauf aux points de discontinuité :

x(t) = \mathcal{F}^{-1}\big[\mathcal{F}[x(t)]\big].

Les conditions de Dirichlet sont au nombre de trois :

$x(t)$ doit être absolument intégrable :
$\int_T |x(t)| dt < \infty,$
$x(t)$ a un nombre fini de minima et de maxima (dans un intervalle fini),
$x(t)$ a un nombre fini de discontinuités (dans un intervalle fini), et ces discontinuités sont elles-mêmes finies.

Figure 1:Exemples de signaux ne vérifiant pas les conditions de Dirichlet.

Phénomène de Gibbs¶

Le phénomène de Gibbs est l’apparition d’oscillations au abords des discontinuités d’un signal $x(t)$ , lorsque celui-ci est reconstruit à partir des coefficients $X[k]$ de sa série de Fourier.

On comprend que si la reconstruction n’utilise qu’une partie des coefficients de la série de Fourier et pas une infinité, alors le signal reconstruit sera différent du signal original :

x(t) \neq \sum_{k=-K}^{+K} X[k] e^{+j 2 \pi k t / T} \qquad\text{si } K < +\infty.

Lorsque $K$ augmente, alors la reconstruction se rapproche du signal. Cependant, on aura toujours un écart entre le signal reconstruit et le signal original au niveau des discontinuités car il se produit des oscillations qui ne peuvent s’atténuer.

Figure 2:Reconstruction d’un créneau à partir de quelques coefficients de sa série de Fourier discrète.