🖍️ Correction - Traitement du signal 1

Exercice 1¶

(x*y)[n] = \begin{cases} 3(n-5) \quad\text{si }\, n\in\{5,\dots,10\} \\ 0 \quad\text{sinon} \end{cases}

La convolution par $y$ retourne un signal qui est la somme de deux signaux $x$ décalés et amplifiés :

(x*y)[n] = \begin{cases} 1 \quad\text{si } n=0 \text{ ou } n=2 \\ 2 \quad\text{si } n=1 \\ 0 \quad\text{sinon} \end{cases}

On veut calculer :

(x*x)(t) = \int x(\tau) x(t-\tau) \, d\tau

avec

x(t-\tau) = \begin{cases} A &\text{si $t-\tau\in[-T,T] \Leftrightarrow \tau\in[-T+t,T+t]$} \\ 0 &\text{sinon} \end{cases}

Ainsi, suivant la valeur de $t$ , les intervalles $[-T,T]$ et $[-T+t,T+t]$ auront ou non des parties communes :

si $T+t<-T$ , alors lorsque $x(\tau)$ est non nul, donc pour $\tau\in[-T,T]$ , $x(t-\tau)$ est nul car $\tau>-T>T+t$ , et donc le produit $x(\tau)x(t-\tau)$ est nul.
si $-T<T+t<T$ (c’est-à-dire pour $-2T<t<0$ ), alors le produit $x(\tau)x(t-\tau)$ est égal à $A^2$ si $\tau\in[-T,T+t]$ et donc :
$\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)x(t-\tau) \, d\tau = \int_{-T}^{T+t} A^2 \, d\tau = A^2 (2T+t)$
si $-T<-T+t<T$ (c’est-à-dire pour $0<t<2T$ ), alors le produit $x(\tau)x(t-\tau)$ est égal à $A^2$ si $\tau\in[-T+t,T]$ et donc :
$\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)x(t-\tau) \, d\tau = \int_{-T+t}^{T} A^2 \, d\tau = A^2 (2T-t)$
de même que pour le premier cas, si $-T+t>T$ alors pour tout $\tau$ le produit $x(\tau)x(t-\tau)$ est nul.

Le résultat est donc :

(x*x)(t) = \begin{cases} A^2(2T+t) \quad\text{si $-2T<t<0$} \\ A^2(2T-t) \quad\text{si $0<t<2T$} \\ 0 \quad\text{sinon} \end{cases} \\

Le signal $x$ est le son émis et le signal $y$ le son entendu. Le signal $x$ est convolué par $h$ tel que :

h(t) = \sum_{k=0}^{K} a_k \delta(t-\tau_k)

où $K$ est le nombre d’échos, $a_k$ est l’ampllitude de chaque écho et $\tau_k$ est le retard que subit chaque écho.