Densité spectrale de puissance - Traitement du signal 2

Autocorrélation statistique¶

L’autocorrélation statistique adapte l’autocorrélation temporelle au caractère statistique d’un signal aléatoire. Ainsi pour un signal aléatoire $x$ , son autocorrélation statistique s’écrit :

R_x[m] = \mathbb{E}\Big[ x[n+m] x[n] \Big].

Densité spectrale de puissance¶

La densité spectrale de puissance (power spectral density) est la transformée de Fourier à temps discret de l’autocorrélation statistique :

S_x(f) = \mathcal{F} \left[ R_x \right](f) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} R_x[m] e^{-j 2 \pi m f}.

La densité spectrale de puissance est définie pour $f\in\left[-\frac{1}{2},+\frac{1}{2}\right]$ . Elle indique comment la puissance du signal aléatoire se localise en fonction des fréquences.

La densité spectrale de puissance a les propriétés suivantes.

La densité spectrale de puissance est une fonction réelle : $S_x(f) \in \mathbb{R}$ .
La densité spectrale de puissance est une fonction positive : $S_x(f) \geq 0$ .
L’intégrale de la densité spectrale de puissance est égale à l’autocorrélation en 0 mais aussi à la puissance du signal :
$\int_{-1/2}^{+1/2} S_x(f) df = R_x(0) = P_x$
La densité spectrale de puissance ne caractérise pas entièrement un signal aléatoire : deux signaux aléatoires peuvent avoir la même densité spectrale de puissance mais être différents !