🖍️ Corrections - Traitement du signal 2

Signaux élémentaires¶

Exercice 1¶

Exemples de signal échantillonné : la température de l’air au lever du soleil (le soleil se levant avec une fréquence de 1 jour $^{-1} = 0,278$ mHz, la mesure de la température au lever du soleil est forcément à temps discret, tout en étant une mesure continue de la température).
Exemple de signal à temps continu : tout signal analogique.
Exemple de signal quantifié : le nombre de personnes dans une pièce en fonction du temps (qui a une valeur forcément entière et qui dépend du temps, variable continue).
Exemples de signal analogique : le son émis par une personne qui parle, la température effective sur un objet ou tout autre signal naturel.
Exemples de signal numérique : le signal sonore contenu dans une musique en streaming, l’enregistrement numérique d’un capteur ou tout autre signal numérique.

Exercice 2¶

Un signal causal est un signal $x(t)$ nul pour $t<0$ . La propriété est équivalente pour les signaux numériques.

Exercice 3¶

Échelon (ou fonction de Heaviside) :
$u(t) = \begin{cases} 0 &\text{si}\quad t < 0 \\ 1 &\text{si}\quad t \geq 0 \end{cases}$
Impulsion de Dirac :
$\delta(t) = 0 \;\text{si}\; t \neq 0 \qquad\text{et}\qquad \int \delta(t) dt = 1$
Impulsion discrète :
$\delta[n] = \begin{cases} 0 \;\text{si}\; n \neq 0 \\ 1 \;\text{si}\; n = 0 \end{cases}$
Peigne de Dirac :
$Ш_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t-kT)$

Exercice 4¶

Exercice 5¶

A est un sinus cardinal.

Produit de convolution¶

Exercice 6¶

D’après la définition du produit de convolution, et comme le signal $x$ est nul presque partout (sauf aux échantillons $n=1$ et $n=-1$ ), alors :

\begin{align*} (x*y)[n] &= \sum_{m=-\infty}^{+\infty} x[m] y[n-m] \\ &= x[-1] y[n+1] + x[1] y[n-1] \end{align*}

Puisque $x[-1]=-1$ et $x[1]=+1$ alors :

(x*y)[n] = -y[n+1] + y[n-1].

D’après la définition de $y$ , on a d’une part :

y[n+1] = \begin{cases} a &\text{pour } |n+1| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} = \begin{cases} a &\text{pour } -2 \leq n \leq 0, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases}

et d’autre part :

y[n-1] = \begin{cases} a &\text{pour } |n-1| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases} = \begin{cases} a &\text{pour } 0 \leq n \leq 2, \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases}.

Ainsi, on peut finalement définir la valeur de tous les échantillons de $(x*y)$ . Il n’y a qu’en $n=0$ que les deux signaux $y[n+1]$ et $y[n-1]$ sont tous les deux non nuls (ils valent $a$ ). Ainsi :

(x*y) = \begin{cases} -a &\text{pour } n = -2 \\ -a &\text{pour } n = -1 \\ 0 &\text{pour } n = 0 \\ a &\text{pour } n = 1 \\ a &\text{pour } n = 2 \\ 0 &\text{ailleurs} \end{cases}

Exercice 7¶

Exercice 8¶

D’après les propriétés de l’impulsion de Dirac :

$(x*d_0)(t) = x(t) * \delta(t-\tau) = x(t-\tau)$ .
$(d_1*d_2)(t) = \delta(t+t_1) * \delta(t+t_2) = \delta(t+t_1+t_2)$ .

Analyse de Fourier¶

Exercice 9¶

Le signal $x(t)$ est continu car il dépend de la variable $t$ (généralement continue), et il est apériodique (c’est une porte). La transformation de Fourier associée est donc la transformée de Fourier.

\begin{align*} X(f) &= \int_{-\infty}^{+\infty} A\,\mathrm{rect}(2t/T) e^{-j2\pi f t} \,dt \\ &= A \int_{-\frac{T}{4}}^{+\frac{T}{4}} e^{-j2\pi f t} \,dt \\ &= A \left[ \frac{e^{-j2\pi f t}}{-j2\pi f} \right]_{-\frac{T}{4}}^{+\frac{T}{4}} \\ &= A \left( \frac{e^{-j2\pi f \frac{T}{4}}}{-j2\pi f} - \frac{e^{+j2\pi f \frac{T}{4}}}{-j2\pi f} \right) \\ &= A \frac{1}{j2\pi f} \left( e^{+j2\pi f \frac{T}{4}} - e^{-j2\pi f \frac{T}{4}} \right) \\ &= A \frac{1}{j2\pi f} 2j \sin(2\pi f \frac{T}{4}) \\ &= A \frac{1}{\pi f} \sin(\pi f \frac{T}{2}) \\ &= A \frac{\frac{T}{2}}{\pi f\frac{T}{2}} \sin(\pi f \frac{T}{2}) \\ &= \frac{AT}{2} \mathrm{sinc}(f \frac{T}{2}) \\ \end{align*}

Exercice 10¶

Le théorème de l’échantillonnage peut s’énoncer ainsi : si un signal analogique $x(t)$ de fréquence maximale $f_\mathrm{max}$ est échantillonné à une fréquence $f_e > 2f_\mathrm{max}$ , alors $x(t)$ peut être exactement reconstruit à partir de ses échantillons (à l’aide d’une interpolation par sinus cardinal). Dit autrement, un signal à temps continu $x(t)$ est déterminé de manière unique par les échantillons $x[n] = x(nT_e)$ à condition que $f_e > 2 f_\mathrm{max}$ .
Ainsi, la fréquence d’échantillonnage pour un signal dans la bande $[0, 100]$ Hz doit être supérieure à $2 \times 100 = 200$ Hz.
De même, la fréquence d’échantillonnage pour un signal dans la bande $[30, 150]$ Hz doit être supérieure à $2 \times 150 = 300$ Hz. L’absence de signal dans la bande $[0,30]$ ne joue aucun rôle ici : seule la fréquence maximale est importante pour définir la fréquence d’échantillonnage.
Dans le cas d’une sinusoïde de fréquence 320 Hz échantillonnée à 600 Hz, la condition $f_e > 2f_\mathrm{max}$ n’est pas respectée. Une représentation graphique permet d’identifier le signal obtenu après échantillonnage. On sait que l’échantillonnage d’un signal à la fréquence $f_e$ produit une périodisation de son spectre à la période $f_e$ . Graphiquement, on obtient donc :

Exercice 11¶

Un signal constant est équivalent à une unique exponentielle complexe de fréquence nulle. Son spectre est donc une unique impulsion de Dirac à la fréquence nulle.

Par dualité, le spectre d’une impulsion de Dirac centrée en 0 et un spectre constant.

Cela implique qu’une impulsion de Dirac contient toutes les fréquences en amplitudes égales, donc en puissances égales.

Exercice 12¶

La transformée de Fourier discrète est périodique, à support discret et valeurs complexes. Elle peut être réelle dans le cas particulier ou le signal temporel est pair.

Exercice 13¶

Grâce à la formule d’Euler, on sait que $\cos(t) = (e^{jt}+e^{-jt})/2$ . Comme le spectre est la représentation graphique de la décomposition en exponentielles complexes du signal, alors le spectre de $\cos(t)$ n’est non nul qu’aux fréquences 1 et -1 :

Exercice 14¶

Une fréquence $f=12,37$ an $^{-1}$ correspond à un phénomène qui apparaît de façon périodique 12,37 fois par an. Sa péridicité est donc $1/f = 80,84 \cdot 10^{-3}$ ans soit $1/f \times 365 = 29,5$ jours environ. Il peut donc s’agir par exemple de la luminosité de la Lune qui tourne avec une période de 29,5 jours autour de la Terre.