Exercices sur feuille - Traitement du signal 2

Signaux élémentaires¶

Exercice 1¶

Donnez des exemples concrets de signaux échantillonnés, de signaux à temps continu, de signaux quantifiés, de signaux analogiques et de signaux numériques.

Exercice 2¶

Qu’est-ce qu’un signal causal ?

Exercice 3¶

Donnez la définition mathématique des signaux suivants puis représentez-les :

un échelon,
une impulsion de Dirac,
une impulsion discrète,
une fonction de Heaviside,
un peigne de Dirac.

Exercice 4¶

Représentez les signaux

x(t) = 4\,\sin(3\pi t+\pi), \qquad y(t) = 2\,\delta(t-1) - \delta(t+1).

Exercice 5¶

Donnez la définition du sinus cardinal. Parmi les signaux suivants, lequel pourrait correspondre à $\mathrm{sinc}(t)$ ?

Produit de convolution¶

Exercice 6¶

Calculez le produit de convolution $(x*y)[n]$ où ( $a\in\mathbb{R}$ ) :

x[n] = \begin{cases} +1 &\text{pour } n=1, \\ -1 &\text{pour } n=-1, \\ 0 &\text{ailleurs}, \end{cases} \qquad\qquad y[n] = \begin{cases} a &\text{pour } |n| \leq 1, \\ 0 &\text{ailleurs}. \end{cases}

Exercice 7¶

Représentez schématiquement les produits de convolution des signaux ci-dessous.

Exercice 8¶

Simplifiez les expressions suivantes :

\begin{align*} &(x*d_0)(t) &&\text{où~:\quad} d_0(t) = \delta(t-\tau) \text{~et~} x(t) \text{~est un signal quelconque}, \\ &(d_1*d_2)(t) &&\text{où~:\quad} d_1(t) = \delta(t+t_1) \text{~et~} d_2(t) = \delta(t+t_2). \end{align*}

Analyse de Fourier¶

Exercice 9¶

Le signal défini ci-dessous est-il continu ou discret ? périodique ou apériodique ? Calculez sa transformée de Fourier.

x(t) = A\,\mathrm{rect}(2t/T) = \begin{cases} A &\text{si } -\frac{T}{4} \leq t \leq \frac{T}{4}, \\ 0 &\text{sinon}. \end{cases}

Exercice 10¶

Rappelez le théorème de l’échantillonnage (ou théorème de Nyquist-Shannon).
Le contenu fréquentiel d’un signal analogique $x$ est situé dans la bande $[0, 100]$ Hz. Quelle fréquence d’échantillonnage convient pour éviter le repliement spectral ?
Le contenu fréquentiel d’un signal analogique $y$ est situé dans la bande $[30, 150]$ Hz. Quelle fréquence d’échantillonnage convient pour éviter le repliement spectral ?
Une sinusoïde de fréquence 320 Hz est échantillonnée à 600 Hz. Quel signal obtient-on après échantillonnage ?

Exercice 11¶

Quel est, intuitivement, le spectre d’un signal temporel constant ? En déduire le spectre d’une impulsion de Dirac centrée en 0. Qu’en concluez-vous sur la composition fréquentielle d’une impulsion de Dirac ?

Exercice 12¶

La transformée de Fourier discrète est-elle périodique ? à support continu ? à valeurs réelles ?

Exercice 13¶

Représentez le spectre de $\cos(t)$ sans calculer sa série de Fourier.

Exercice 14¶

Un signal temporel est enregistré avec une période d’échantillonnage définie en jour plutôt qu’en seconde. Le spectre du signal fait apparaître un pic très franc aux alentours de $12,37$ an $^{-1}$ . À quel phénomène correspond ce pic ?